חידה מתמטית: הגשר, הפנס ו-17 הדקות: מתי האדם המהיר צריך להפסיק לרוץ

ארבעה אנשים מגיעים בלילה לגשר צר. זמני החצייה שלהם הם 1, 2, 5 ו-10 דקות. הגשר יכול לשאת עד שני אנשים, וכל מעבר דורש פנס. כאשר שניים חוצים יחד, זמן החצייה נקבע לפי האיטי מביניהם. המטרה היא להעביר את כולם בתוך 17 דקות.

האינסטינקט מעניק את תפקיד שליח הפנס לאדם שחוצה בדקה אחת. הוא ושחקן שתי הדקות עוברים תחילה במשך 2 דקות, והמהיר חוזר בדקה. בהמשך הוא מלווה את שחקן חמש הדקות, חוזר שוב ומלווה את שחקן עשר הדקות. החשבון מגיע ל-19 דקות: 2 ועוד 1, ועוד 5 ועוד 1, ועוד 10.

המהיר אכן מצמצם את זמני החזרה, אך האסטרטגיה מכריחה את שני האיטיים לבצע שתי חציות נפרדות. מחיר שתי החציות האלה הוא 15 דקות. החיסכון בכל החזרת פנס קטן מהעלות שנוצרת מהפרדתם.

שני האיטיים עוברים יחד

הפתרון מתחיל במעבר של שני המהירים. בעלי הזמנים של 1 ו-2 דקות חוצים יחד במשך 2 דקות. המהיר חוזר עם הפנס בדקה אחת, והזמן המצטבר עומד על 3 דקות.

כעת שני האיטיים, בעלי הזמנים של 5 ו-10 דקות, חוצים יחד. המעבר נמשך 10 דקות והשעון מגיע ל-13. האדם שחוצה ב-2 דקות מחזיר את הפנס, כך שהזמן מגיע ל-15. שני המהירים חוצים יחד פעם נוספת, ובתום 2 דקות כולם נמצאים בצד השני. סך הזמן: 17 דקות.

המהלך המכריע הוא החזרה של שחקן שתי הדקות. החזרה שלו יקרה בדקה אחת מהחזרת האדם המהיר ביותר, אך היא מאפשרת לשני האיטיים לעבור במקביל. הזוג חוסך חצייה נפרדת של 5 דקות, והמבנה הכולל חוסך 2 דקות לעומת אסטרטגיית השליח הקבוע.

אפשר להציג את ההחלטה בנוסחה. מסמנים את זמני החצייה בסדר עולה: a, b, c ו-d. אסטרטגיה שבה המהיר מלווה את האחרים עולה 2a+b+c+d. אסטרטגיה שבה שני האיטיים עוברים יחד עולה a+3b+d.

במקרה של 1, 2, 5 ו-10 דקות, השיטה הראשונה עולה 19 דקות והשנייה 17. המעבר המשותף של שני האיטיים משתלם כאשר 2b קטן מ-a+c. כאן 4 קטן מ-6, ולכן השימוש בשני האנשים המהירים כצוות להעברת הפנס מעניק יתרון.

מציאת תשובה מול הוכחה שאין טובה ממנה

החידה עוסקת למעשה בצוואר בקבוק. זמן המעבר של זוג נקבע בידי האדם האיטי, ולכן צירוף שני אנשים איטיים גובה פעם אחת את העלות הגבוהה. אותו היגיון מופיע בייצור, הובלה וניהול פרויקטים. שתי משימות שדורשות אותה הכנה יקרה עשויות להתבצע יחד, גם כאשר כל אחת מהן מתקדמת בקצב שונה.

• חידה מתמטית: שתי מעטפות, באחת יש סכום כפול, איך בוחרים? והחישוב שמבטיח רווח של 25%
• 23 אנשים בחדר: הסיכוי המפתיע ששניים חולקים יום הולדת

הפתרון גם מחדד את ההבדל בין מציאת תשובה לבין הוכחתה. במקרה הזה קיימות שלוש חציות קדימה ושתי החזרות. אם שני האיטיים חוצים בנפרד, זמני המעברים שלהם מסתכמים ב-15 דקות, ושאר התנועות מעלות את העלות ל-19 לפחות. אם הם חוצים יחד, המעבר שלהם עולה 10 דקות והמערך הזול ביותר סביבו מוסיף 7 דקות.

פער דומה בין ניסוי לבין הוכחה מופיע בהשערת קולץ, שנבדקה על מספרים עצומים ועדיין מחכה להכרעה. מנגד, מודל של אופן איי איי הצליח להפריך השערה בת 80 שנה באמצעות דוגמה נגדית. בגשר מספיק למצוא מסלול של 17 דקות כדי להראות שהוא אפשרי, אך בחינת יתר המסלולים היא שמוכיחה שזהו הזמן המזערי.