יונים חכמות יותר ממתמטיקאים? המחקר שמוכיח שגם המומחים טועים

התרחיש פשוט לכאורה: שלוש דלתות, מאחורי אחת מהן מכונית, מאחורי השתיים האחרות עיזים. אתם בוחרים דלת, המנחה פותח דלת אחרת שמגלה עז, ומציע לכם להחליף את הבחירה. מה כדאי לעשות?

זו בעיית מונטי הול המפורסמת, ומחקרים מדעיים מגלים שרוב האנשים - כולל מתמטיקאים - נכשלים בה. מה שמפתיע עוד יותר: ניסויים הראו שיונים מצליחות לפתור את החידה טוב יותר מבני אדם.

הבעיה שהפכה לתופעה

בעיית מונטי הול זכתה לתהודה עולמית ב-1990, כאשר מריילין ווס סוואנט - בעלת מנת המשכל הגבוהה בעולם על פי ספר השיאים גינס דאז - פרסמה את הפתרון במדור שלה במגזין Parade. תשובתה: תמיד כדאי להחליף דלת. הסיכוי לזכות במכונית אם מחליפים הוא 67%, לעומת 33% אם נשארים.

התגובה הייתה עזה. אלפי קוראים, רבים מהם בעלי תארים מתקדמים במתמטיקה, שלחו מכתבים זועמים וטענו שהיא טועה. היא עמדה על שלה, והזמן הוכיח שהייתה צודקת (ראו הרחבה על הפתרון בהמשך)

• שני מתמטיקאים שברו שיא בן 84 שנים בדרך לפתרון הבעיה הגדולה ביותר במתמטיקה
• אילון מאסק וג'נסן הואנג ממליצים לכם מה ללמוד
• המלצת המערכת: כל הכותרות 24/7

מדוע אנחנו כל כך טועים?

סקירה שיטתית שפורסמה ב-PMC (Tubau et al., 2015) בחנה את כל המחקרים שנעשו על הבעיה בין השנים 2000-2018. הממצאים מדאיגים: רק כ-13% מהמשתתפים בניסויים הבינו את היתרון ההסתברותי של החלפת הדלת, על פי מחקר של Granberg & Brown משנת 1995.

מחקר של Burns & Wieth משנת 2004 שפורסם ב-Journal of Experimental Psychology: General הראה שהקושי נובע מכך שאנשים לא מבינים שהתנהגות המנחה מספקת מידע חשוב. המנחה יודע היכן המכונית, ובחירתו איזו דלת לפתוח מושפעת ממיקום המכונית - מידע שהמשתתף לא תמיד מעבד.

המחקרים גילו שאפילו לאחר מספר סיבובים חוזרים, רובם המכריע של האנשים לא משנים את אסטרטגיית הבחירה שלהם. Franco-Watkins, Derks & Dougherty מצאו ב-2003 שאפילו משתתפים שכן החליפו דלת עשו זאת מסיבות לא נכונות ולא בגלל שהבינו את ההיגיון המתמטי.

• פרדוקס השכר: למה מעל רמת הכנסה מסוימת הכסף מפסיק להשפיע?
• ניהול פיננסי ובריאות הלב: הקשר שמתחיל בחשבון הבנק ומסתיים במערכת הלב
• תוכן שיווקי שוק הסקנדרי בישראל: הציבור יכול כעת להשקיע ב-SpaceX של אילון מאסק
• המיומנות שמנבאת הצלחה יותר מ-IQ -למה השכל הוא רק כרטיס...

כשיונים מנצחות את המומחים

אולי הממצא המרתק ביותר פורסם ב-Journal of Comparative Psychology ב-2010. חוקרים Herbranson & Schroeder מאוניברסיטת Whitman בארצות הברית בדקו האם יונים יכולות לפתור את בעיית מונטי הול.

התוצאות היו מפתיעות: לאחר סדרת ניסויים חוזרים, היונים למדו להעדיף החלפת בחירה ב-96% מהמקרים - ביצועים כמעט מושלמים. לעומתן, בני אדם המשיכו להיכשל גם לאחר עשרות סיבובים.

החוקרים הסבירו שהיונים, להבדיל מבני אדם, לא סובלות מחרטה ומתחושות רגשיות. מחקרים של Gilovich, Medvec & Chen משנת 1995 הראו שבני אדם מרגישים חרטה רבה יותר כשמשנים החלטה ומפסידים, מאשר כשנשארים עם הבחירה המקורית ומפסידים. רגש זה מעכב את היכולת ללמוד את האסטרטגיה האופטימלית.

"קופים ופרימטים אחרים, שככל הנראה חסרים תחושת חרטה מורכבת, הצליחו להבין את ההסתברות הבסיסית טוב יותר מבני אדם", כך נכתב במחקר של Klein, Beran, Evans & Barrett משנת 2008.

מחקרים רבים ניסו למצוא דרכים לעזור לאנשים להבין את הבעיה. Krauss & Wang ב-2003, וכן Idson et al. ב-2004, הראו שכאשר מדגישים במפורש שהמנחה אינו פועל באקרראי אלא מספק מידע חשוב, הביצועים משתפרים.

מחקרים אחרים גילו שכאשר מגדילים את מספר הדלתות - למשל, 100 דלתות במקום שלוש - התובנה הופכת ברורה יותר. Hell & Heinrichs השיגו בשנת 2000 שיעור החלפה של 65% כאשר השתמשו ב-30 דלתות במקום שלוש.

סקירה שפורסמה ב-PMC על ידי Johnson & Tubau ב-2013 מצאה שהבדלים אינדיבידואליים בחשיבה סטטיסטית משפיעים על היכולת לפתור את הבעיה, אך גם אנשים עם רקע מתמטי חזק לעיתים קרובות טועים.

בעיית מונטי הול ממשיכה לאתגר את האינטואיציה האנושית. מחקרים מראים שהיא חושפת את המגבלות של החשיבה האינטואיטיבית שלנו בנושא הסתברות, ושהיגיון איטי ומעמיק נדרש כדי להגיע לתשובה הנכונה.

כפי שכתבו החוקרים בסקירה השיטתית: "נראה שהאנושות לא התפתחה כדי להתמודד עם חשיבה על בעיית מונטי הול בצורה טבעית. אולם, המחקרים מראים יכולת לעשות זאת עם ההקשר, הלמידה והניסיון הנכונים".

העובדה שיונים מצליחות טוב יותר ממתמטיקאים אולי צריכה ללמד אותנו משהו על הביטחון העצמי שלנו - לפעמים, האינטואיציה שלנו פשוט שגויה, גם כשאנחנו משוכנעים שהיא נכונה.

הסבר לבעיית מונטי הול

הבעיה - אתה משתתף בתוכנית טלוויזיה. המנחה, מונטי הול, מראה לך שלוש דלתות סגורות:

מאחורי דלת אחת יש מכונית (הפרס הרצוי)

מאחורי שתי הדלתות האחרות יש עיזים

שלב 1: אתה בוחר דלת (נניח דלת מספר 1)

שלב 2: המנחה, שיודע מה מאחורי כל דלת, פותח אחת משתי הדלתות שלא בחרת ומגלה עז (נניח שהוא פותח דלת מספר 3)

שלב 3: המנחה שואל אותך: "האם אתה רוצה להישאר עם הבחירה המקורית שלך (דלת 1) או להחליף לדלת שנותרה סגורה (דלת 2)?"

השאלה: מה כדאי לעשות - להישאר או להחליף?

האינטואיציה השגויה - רוב האנשים חושבים:

"עכשיו יש שתי דלתות, אחת עם מכונית ואחת עם עז"

"הסיכוי הוא 50-50"

"לא משנה אם אני משנה או לא"

זה לא נכון!

הפתרון הנכון - תמיד כדאי להחליף דלת!

הסיכוי לזכות אם מחליפים: 67% (2 מתוך 3) הסיכוי לזכות אם נשארים: 33% (1 מתוך 3)

למה זה עובד? שלוש דרכים להבין

דרך 1: סימולציה של כל האפשרויות

נניח שהמכונית מאחורי דלת 1, ואתה תמיד בוחר דלת 1 בתחילה:

תוצאה: אם תמיד מחליפים - זוכים ב-2 מתוך 3 מקרים (67%)

דרך 2: החשיבה ההסתברותית

בהתחלה, כשאתה בוחר דלת אחת:

• הסיכוי שבחרת את המכונית: 1/3 (33%)
• הסיכוי שהמכונית באחת משתי הדלתות האחרות: 2/3 (67%)

כשהמנחה פותח אחת מהדלתות ומראה עז:

• ההסתברות שבחרת נכון בהתחלה לא משתנה - עדיין 1/3
• אבל עכשיו כל ה-2/3 מרוכזים בדלת האחת שנשארה!

לכן, הדלת האחרת שנותרה סגורה יש לה סיכוי של 2/3 להכיל את המכונית.

דרך 3: החשיבה האינטואיטיבית (עם 100 דלתות)

דמיין שיש 100 דלתות במקום 3:

• אתה בוחר דלת אחת - הסיכוי שבחרת נכון: 1%
• הסיכוי שהמכונית באחת מ-99 הדלתות האחרות: 99%

עכשיו המנחה פותח 98 דלתות ומראה לך 98 עיזים, ומשאיר רק דלת אחת אחרת סגורה.

האם אתה באמת חושב שבחרת נכון בהתחלה עם סיכוי של 1%? כמעט בוודאות, המכונית היא מאחורי הדלת האחרת שנשארה!

המפתח להבנה

המנחה נותן לך מידע!

המנחה תמיד:

1. יודע איפה המכונית
2. פותח דלת עם עז
3. לא פותח את הדלת שבחרת

כשהמנחה פותח דלת ומראה עז, הוא בעצם אומר לך: "מכל הדלתות שלא בחרת, הנה איפה שהמכונית לא נמצאת."

בשלוש דלתות: יש לו שתי דלתות לבחור מהן. אם המכונית באחת מהן, הוא חייב לפתוח את השנייה. זה מרכז את ההסתברות.

המסקנה: כשמחליפים דלת, זוכים פי 2 יותר מאשר כשנשארים!