שני מתמטיקאים שברו שיא בן 84 שנים בדרך לפתרון הבעיה הגדולה ביותר במתמטיקה

השערת רימן, שניסוחה ב-1859, נחשבת לבעיה הפתוחה המרכזית בתורת המספרים. מחקר חדש משפר לראשונה מאז 1940 את ההערכה למספר החריגים האפשריים להשערה, עם השלכות ישירות על הבנת התפלגות המספרים הראשוניים. במילים פשוטות - יש התקדמות גדולה לעבר הפתרון, אם כי, זה יכול לקחת עשרות רבות של שנים ואולי מעבר לכך. העולם המתמטי מתרגש מהמחקר - על מה בעצם מדובר, על הפרס שיזכה פותר הבעיה  על הבעיה ועל החוקרים: 

המספרים הראשוניים, אותם מספרים שמתחלקים רק בעצמם וב-1, מפוזרים לאורך ציר המספרים בדפוס שנראה במבט ראשון אקראי. 2, 3, 5, 7, 11, 13 ואז קפיצה ל-17, ושוב קפיצה ל-19, ואז פער ארוך עד 23. מתמטיקאים מנסים כבר מאות שנים להבין את החוקיות שמאחורי הפיזור הזה, ומאמינים שהמפתח נמצא בהשערה שניסח המתמטיקאי הגרמני ברנהרד רימן ב-1859.

רימן חקר פונקציה מתמטית, הנקראת היום פונקציית זטא של רימן, שמקבלת מספרים מרוכבים כקלט ומחזירה מספרים מרוכבים כפלט. הפונקציה מתאפסת בנקודות מסוימות, והשאלה היכן בדיוק נמצאות נקודות האפס הללו קשורה ישירות להתפלגות המספרים הראשוניים. רימן שיער שכל נקודות האפס הלא-טריוויאליות של הפונקציה נמצאות על קו אנכי אחד במישור המרוכב, שבו החלק הממשי שווה בדיוק ל-1/2.

אם ההשערה נכונה, היא תספק נוסחה מדויקת לחישוב כמות המספרים הראשוניים בכל קטע נתון. מכון קליי למתמטיקה בחר בה כאחת משבע בעיות המילניום והציע מיליון דולר למי שיוכיח אותה. אבל למרות 165 שנות מאמצים, אף אחד לא הצליח להוכיח שאין נקודות אפס מחוץ לקו הקריטי.

• אילון מאסק וג'נסן הואנג ממליצים לכם מה ללמוד
• המלצת המערכת: כל הכותרות 24/7

הגישה העקיפה: הגבלת מספר החריגים

מתמטיקאים פיתחו גישה חלופית: במקום להוכיח שאין חריגים להשערה, הם מנסים להראות שמספר החריגים האפשריים מוגבל. ג'יימס מיינרד מאוניברסיטת אוקספורד הסביר את הרציונל: "במקרים רבים, הגבלת מספר החריגים יכולה להיות טובה כמו השערת רימן עצמה. אנחנו יכולים לקבל תוצאות דומות על מספרים ראשוניים גם בלי להוכיח את ההשערה במלואה".

ב-1940, המתמטיקאי האנגלי אלברט אינגהם קבע גבול עליון למספר נקודות האפס שעשויות להימצא מחוץ לקו הקריטי. הגבול שלו התבטא במעריך של 3/5 (0.6) בנוסחה מתמטית ספציפית. במשך 84 שנים, מתמטיקאים רבים ניסו לשפר את התוצאה הזו ונכשלו. שיפורים הושגו רק עבור אפסים עם חלק ממשי גדול מ-3/4, אבל עבור האפסים עם חלק ממשי של בדיוק 3/4 הגבול של אינגהם נותר ללא שינוי.

לפני כשנה וחצי, לארי גות מ-MIT ומיינרד פרסמו מאמר שסוף סוף שבר את השיא. הם הורידו את המעריך מ-3/5 ל-13/25 (0.52). במונחים מתמטיים, הם הוכיחו שמספר האפסים של פונקציית זטא בתחום שבו החלק הממשי גדול או שווה ל-σ והחלק המדומה קטן או שווה ל-T מוגבל על ידי T בחזקת 30(1-σ)/13. כתוצאה מכך, הם גם הוכיחו שניתן לחשב את כמות המספרים הראשוניים בקטעים קצרים באורך x בחזקת 17/30, שיפור משמעותי לעומת התוצאות הקודמות. כן, ברור לנו שרובכם קצת הולך לאיבוד בשפה המתמטית, אבל בגדול כאמור הם הצליחו לספק מעין קירוב של פתרון לבעיה. 

• האם כסף באמת קונה בריאות? המחקרים החשובים בתחום
• מחשבון הסיכון למחלות לב: הגורמים שחשוב שתכירו
• תוכן שיווקי שוק הסקנדרי בישראל: הציבור יכול כעת להשקיע ב-SpaceX של אילון מאסק

השיטה: תרגום הבעיה לשפה של מטריצות

גות ומיינרד התחילו בתרגום הבעיה. הם הראו שאם קיים אפס שהחלק הממשי שלו שונה מ-1/2, אז פונקציה קשורה הנקראת פולינום דיריכלה חייבת לקבל ערכים גדולים מאוד. לכן, הוכחה שפולינום דיריכלה לא יכול לקבל ערכים גדולים לעתים קרובות מדי שקולה להוכחה שיש מעט חריגים להשערת רימן.

בשלב הבא, הם בנו מטריצה מהפולינום והתמקדו בערכים העצמיים שלה. גות הסביר: "מתמטיקאים אוהבים לראות מטריצות, כי מטריצות הן אחד הדברים שאנחנו מבינים ממש טוב". המטרה הפכה להוכחה שהערך העצמי הגדול ביותר של המטריצה מוגבל.

אחד הצעדים המפתיעים בהוכחה היה ההחלטה לא לבצע פישוט סטנדרטי שנראה מתבקש. מיינרד תיאר את זה כ"גמביט" שחמטי: "אנחנו עושים משהו שבמבט ראשון נראה לגמרי לא הגיוני. אנחנו מסרבים לעשות את הפישוט הסטנדרטי. זה מוותר על הרבה בטווח הקצר, אבל נותן לנו יתרון בהמשך". הם גם העלו את המטריצה בחזקה שישית, צעד שמסבך את החישוב אבל מאפשר ביטולים שלא היו אפשריים אחרת.

רוג'ר הית'-בראון מאוקספורד, מנחה לשעבר של מיינרד, התייחס לגישה: "צריך להיות אמיץ כדי לוותר על שיפור ברור ולקוות שתוכל להחזיר אותו מאוחר יותר. זה הולך נגד הגישה המקובלת. עכשיו כשאני חושב על זה, שם בדיוק נתקעתי כשניסיתי לפתור את הבעיה הזו".

טרנס טאו, מהמתמטיקאים המובילים בעולם, כתב שהתוצאה "מתורגמת לשיפורים מקבילים רבים בתורת המספרים האנליטית". למשל, הטווח שבו ניתן להוכיח את משפט המספרים הראשוניים עבור קטעים קצרים השתפר מ-θ גדול מ-1/6 ל-θ גדול מ-2/15. השערת רימן עצמה הייתה מאפשרת לכסות את כל הטווח θ גדול מ-0.