שני מתמטיקאים שברו שיא בן 84 שנים בדרך לפתרון הבעיה הגדולה ביותר במתמטיקה

השערת רימן, שניסוחה ב-1859, נחשבת לבעיה הפתוחה המרכזית בתורת המספרים. מחקר חדש משפר לראשונה מאז 1940 את ההערכה למספר החריגים האפשריים להשערה, עם השלכות ישירות על הבנת התפלגות המספרים הראשוניים. במילים פשוטות - יש התקדמות גדולה לעבר הפתרון, אם כי, זה יכול לקחת עשרות רבות של שנים ואולי מעבר לכך. העולם המתמטי מתרגש מהמחקר - על מה בעצם מדובר? על הפרס שיזכה פותר הבעיה  על הבעיה ועל החוקרים: 

המספרים הראשוניים, אותם מספרים שמתחלקים רק בעצמם וב-1, מפוזרים לאורך ציר המספרים בדפוס שנראה במבט ראשון אקראי. 2, 3, 5, 7, 11, 13 ואז קפיצה ל-17, ושוב קפיצה ל-19, ואז פער ארוך עד 23. מתמטיקאים מנסים כבר מאות שנים להבין את החוקיות שמאחורי הפיזור הזה, ומאמינים שהמפתח נמצא בהשערה שניסח המתמטיקאי הגרמני ברנהרד רימן ב-1859.

רימן חקר פונקציה מתמטית, הנקראת היום פונקציית זטא של רימן, שמקבלת מספרים כקלט ומחזירה מספרים מורכבים כפלט. הפונקציה מתאפסת בנקודות מסוימות, והשאלה היכן בדיוק נמצאות נקודות האפס הללו קשורה ישירות להתפלגות המספרים הראשוניים. רימן שיער שכל נקודות האפס הלא-טריוויאליות של הפונקציה (הפתרונות שלא קשורים למספרים ראשוניים) נמצאות על קו אנכי אחד.

אם ההשערה נכונה, היא תספק נוסחה מדויקת לחישוב כמות המספרים הראשוניים בכל קטע נתון. מכון קליי למתמטיקה בחר בבעיה של המספרים הראשוניים כאחת משבע בעיות המילניום והציע מיליון דולר למי שיוכיח אותה. אבל למרות 165 שנות מאמצים, אף אחד לא הצליח להוכיח.

• אילון מאסק וג'נסן הואנג ממליצים לכם מה ללמוד
• המלצת המערכת: כל הכותרות 24/7

הגישה העקיפה: הגבלת מספר החריגים

מתמטיקאים פיתחו גישה חלופית: במקום להוכיח שאין חריגים להשערה, כלומר שאין מספרי אפס לא טבעיים שפותרים את המשוואה, הם מנסים להראות שמספר החריגים האפשריים מוגבל. ג'יימס מיינרד מאוניברסיטת אוקספורד הסביר את הרציונל: "במקרים רבים, הגבלת מספר החריגים יכולה להיות טובה כמו השערת רימן עצמה. אנחנו יכולים לקבל תוצאות דומות על מספרים ראשוניים גם בלי להוכיח את ההשערה במלואה". אם אתם איבדתם את הקו המתמטי, אתם בחברה טובה - אבל דמיינו שיש סוד-נוסחה למספרים הראשוניים ומנסים לגלות את הנוסחה והולכים בדרך עקיפה. מחפשים בעצם פונקציה שאליה נכנסים מספרים וכאשר נכנסים מספרים ראשוניים הפונקציה פולטת אפס. 

הבעיה שיש מספרים אחרים שהפונקציה פולטת לגביהם אפס, אלו נקראים החריגים ואת זה מנסים החוקרים לצמצם, והם הצליחו לצמצם באופן דרמטי. ב-1940, המתמטיקאי האנגלי אלברט אינגהם קבע גבול עליון למספר נקודות האפס שעשויות להימצא מחוץ לקו הקריטי. במשך 84 שנים, מתמטיקאים רבים ניסו לשפר את התוצאה הזו ונכשלו.

לפני כשנה וחצי, לארי גות מ-MIT ומיינרד פרסמו מאמר שסוף סוף שבר את השיא. הם הוכיחו שמספר האפסים של פונקציית זטא בתחום שבו החלק הממשי גדול או שווה ל-σ והחלק המדומה קטן או שווה ל-T מוגבל על ידי T בחזקת 30(1-σ)/13. כן, ברור לנו שרובכם קצת הולך לאיבוד בשפה המתמטית, אבל בגדול כאמור הם הצליחו לספק מעין קירוב של פתרון לבעיה, לצמצם מאוד את האפשרויות של תוצרי האפס בפונקציה הזו.  

• פרדוקס הבחירה - כשעומדות בפנינו יותר אפשרויות, נקבל החלטות גרועות יותר
• מחקרים: עשירים שתורמים מרגישים עשירים יותר
• תוכן שיווקי שוק הסקנדרי בישראל: הציבור יכול כעת להשקיע ב-SpaceX של אילון מאסק
• דחיינות היא איתות מהמוח; מה הוא מנסה להגיד לנו?

השיטה: תרגום הבעיה לשפה של מטריצות

גות ומיינרד התחילו בתרגום הבעיה. הם הראו שאם קיים אפס שהחלק הממשי שלו שונה מ-1/2, אז פונקציה קשורה הנקראת פולינום דיריכלה חייבת לקבל ערכים גדולים מאוד. לכן, הוכחה שפולינום דיריכלה לא יכול לקבל ערכים גדולים לעתים קרובות מדי שקולה להוכחה שיש מעט חריגים להשערת רימן.

בשלב הבא, הם בנו מטריצה מהפולינום והתמקדו בערכים העצמיים שלה. גות הסביר: "מתמטיקאים אוהבים לראות מטריצות, כי מטריצות הן אחד הדברים שאנחנו מבינים ממש טוב". המטרה הפכה להוכחה שהערך העצמי הגדול ביותר של המטריצה מוגבל.

אחד הצעדים המפתיעים בהוכחה היה ההחלטה לא לבצע פישוט סטנדרטי שנראה מתבקש. מיינרד תיאר את זה כ"גמביט" שחמטי: "אנחנו עושים משהו שבמבט ראשון נראה לגמרי לא הגיוני. אנחנו מסרבים לעשות את הפישוט הסטנדרטי. זה מוותר על הרבה בטווח הקצר, אבל נותן לנו יתרון בהמשך". הם גם העלו את המטריצה בחזקה שישית, צעד שמסבך את החישוב אבל מאפשר ביטולים שלא היו אפשריים אחרת.

רוג'ר הית'-בראון מאוקספורד, מנחה לשעבר של מיינרד, התייחס לגישה: "צריך להיות אמיץ כדי לוותר על שיפור ברור ולקוות שתוכל להחזיר אותו מאוחר יותר. זה הולך נגד הגישה המקובלת. עכשיו כשאני חושב על זה, שם בדיוק נתקעתי כשניסיתי לפתור את הבעיה הזו".

טרנס טאו, מהמתמטיקאים המובילים בעולם, כתב שהתוצאה "מתורגמת לשיפורים מקבילים רבים בתורת המספרים האנליטית". למשל, הטווח שבו ניתן להוכיח את משפט המספרים הראשוניים עבור קטעים קצרים השתפר מ-θ גדול מ-1/6 ל-θ גדול מ-2/15. השערת רימן עצמה הייתה מאפשרת לכסות את כל הטווח θ גדול מ-0.