מיליון דולר לפתרון חידה של 160 שנה: משוואת נאוויה-סטוקס שמציקה למתמטיקאים הגדולים בעולם
איך זורם מים בצינור? איך נע אוויר סביב כנף מטוס? שאלות שנשמעות פשוטות, אבל הן מסתירות אחת החידות המתמטיות המסובכות ביותר בהיסטוריה - מעל 200 שנה מחכים לפתרון. מי שיצליח - יזכה בכבוד וכסף
חידה מתמטית איך זורם מים בצינור? איך נע אוויר סביב כנף מטוס? שאלות שנשמעות פשוטות, אבל הן מסתירות אחת החידות המתמטיות המסובכות ביותר בהיסטוריה. משוואות נאוויה-סטוקס, שנוסחו במאה ה-19, מתארות תנועת נוזלים וגזים, אבל אף מתמטיקאי לא הצליח להוכיח שהן תמיד עובדות. מי שיפתור את התעלומה יזכה במיליון דולר מהמכון למתמטיקה של קליי, ובמעמד של אגדה מתמטית.
בשנת 1822, הצרפתי קלוד-לואי נאוויה ניסח סט משוואות שמתארות איך נוזל זורם תחת השפעת כוחות שונים. 23 שנים אחר כך, האירי ג'ורג' גבריאל סטוקס שיפר אותן. המשוואות האלה מנבאות כיצד מתנהג כל דבר זורם - ממזג האוויר ועד לזרימת דם בעורקים, מתנועת מגמה באוקיינוס ועד לאווירודינמיקה של רכב מירוץ.
התעשייה משתמשת בהן מדי יום. מהנדסי תעופה מעצבים כנפיים, חברות נפט מדמות זרימות במאגרים תת-קרקעיים, חוקרי אקלים מחשבים דפוסי רוח. אבל יש בעיה: אף אחד לא יודע אם המשוואות האלה תמיד נותנות תשובה הגיונית.
הבעיה שאף אחד לא פתר
השאלה שמעסיקה מתמטיקאים: האם תמיד קיים פתרון חלק ומוגדר למשוואות נאוויה-סטוקס? במילים פשוטות - האם אפשר להבטיח שכאשר מתארים זרימת נוזל כלשהו, המשוואות תמיד ייתנו תשובה שמתנהגת "יפה", בלי לקפוץ לאינסוף או להתפוצץ באופן לא צפוי?
הבעיה היא במיוחד במימד תלת-ממדי, כמו בעולם האמיתי. במימד דו-ממדי, יש כבר התקדמות משמעותית, אבל שלוש מימדים? זה סיפור אחר לגמרי. והסיבה טכנית: במשוואות האלה, המהירות של הנוזל משפיעה על עצמה בצורה לא-לינארית, מה שיוצר מורכבות מטורפת.
בשנות ה-30 של המאה ה-20, המתמטיקאי הצרפתי ז'אן לריי הוכיח שקיימים פתרונות "חלשים" - כלומר, פתרונות שאולי לא חלקים לגמרי אבל עדיין שימושיים. זו הייתה פריצת דרך, אבל לא פתרון מלא.
בשנות ה-50 וה-60, המתמטיקאית הרוסית אולגה לדיז'נסקאיה פיתחה טכניקות חדשות לניתוח משוואות אלה, והראתה שבמקרים מסוימים אפשר להבטיח קיום של פתרונות. עבודתה נחשבת למהפכנית, אבל עדיין לא כיסתה את כל המקרים.
בשנת 2000, מכון קליי הכריז על משוואות נאוויה-סטוקס כאחת משבע "בעיות המילניום" - החידות החשובות ביותר במתמטיקה, עם פרס של מיליון דולר לכל אחת. מאז, מאות מתמטיקאים מכל העולם מנסים לפצח אותה.
התקדמות אבל לא פתרון
בעשורים האחרונים חלה תנופה במחקר. טרנס טאו, זוכה מדליית פילדס (מעין "נובל של המתמטיקה"), הוכיח במחקריו שאם אכן קיימות "התפוצצויות" במשוואות, הן חייבות להיות נדירות מאוד ובעלות מבנה מיוחד. זו לא הוכחה מלאה, אבל צעד משמעותי.
בשנים האחרונות, מתמטיקאים ברחבי העולם משתמשים בכלים חדשים מתורת ההסתברות ומראים שבתנאים מסוימים, למשוואות יש פתרונות יציבים לזמן ארוך. שוב - לא פתרון מלא, אבל הבנה עמוקה יותר של איפה נמצאות הבעיות.
גם בשנים האחרונות פורסמו מחקרים רבים שניסו לחקור מקרי קצה - מצבים אקסטרמיים שבהם המשוואות עלולות "להשתגע". כל מחקר כזה מצמצם את האזור של אי-הוודאות, אבל הפתרון המלא עדיין חמקמק.
למה זה חשוב? מעבר לפרס ולתהילה, פתרון הבעיה יכול לחולל מהפכה בהבנתנו את דינמיקת הנוזלים. זה יכול לשפר תחזיות מזג אוויר, לעזור בתכנון מטוסים יעילים יותר, ואפילו להוביל לפריצות דרך ברפואה - בהבנת זרימת דם ומחלות לב.
האירוניה? אנחנו משתמשים במשוואות האלה בהצלחה עצומה, בסימולציות מחשב ובתכנון הנדסי, אבל עדיין לא יודעים אם הן תמיד "תקינות" מבחינה מתמטית. זה כמו לנהוג ברכב שעובד מעולה, אבל אף מהנדס לא יכול להבטיח שהוא לא יתפרק לפתע.
160 שנה אחרי שנוסחו, משוואות נאוויה-סטוקס ממשיכות להוות אתגר. המיליון דולר עדיין מחכה. והמתמטיקאים? הם ממשיכים לנסות.
