חידת שלושת האסירים: למה המוח שלנו נכשל בהערכת סיכונים, ומה זה אומר על השקעות בבורסה?
האינטואיציה האנושית נוטה להעריך סיכונים בצורה ליניארית, אך המציאות פועלת לפי חוקי עדכון הסתברות דינמיים; הבנת מנגנון הדיווח שמאחורי
המידע היא מה שמבדיל בין משקיע נאיבי לאסטרטג מתוחכם
חידה מתמטית ידועה בת 67 שנים, שפורסמה בסוף שנות ה-50' מדגימה כיצד האינטואיציה האנושית פועלת בדרך שגויה כשמדובר בעדכון סיכונים. הבנת המנגנון שמאחורי חשיפת המידע חיונית למניעת טעויות בהערכת הסתברויות, ולכן, אם אתם רוצים לקבל את ההחלטות שלכם בצורה מושכלת, אל תתעלמו מהדרך שבה המידע הגיע לידיכם, וממה שהמנגנון הזה עשוי לחשוף דווקא על מה שלא נאמר.
חידת "שלושת האסירים" שחיבר המתמטיקאי הפופולרי מרטין גרדנר ראתה אור לראשונה בטורו המיתולוגי בכתב העת Scientific American, באוקטובר 1959. מה שהתחיל כתרגיל מחשבתי על שלושה נידונים למוות הפך עד מהרה לאבן בוחן קלאסית במתמטיקה ובפילוסופיה של הידע. מאז החידה הזו מצליחה לשטות ולהפיל בפח גם את המוחות המבריקים ביותר, משום שהיא חושפת פער עמוק וצורם בין האינטואיציה האנושית לבין חוקי ההסתברות המורכבים השולטים בעולמנו.
גרדנר (2010-1914) נהג להציג בטורו שעשועי מתמטיקה - הוא כתב על 300 נושאים שהפכו את המתמטיקה לזמינה לקוראים הדיוטות. חידת שלושת האסירים נותרה עד היום אחת המפורסמות ביותר. פרסום הפתרון הגיע בגיליון נובמבר, וקוראים רבים היו המומים מהתשובה.
החידה, גרסה מחודשת של פרדוקס הקופסאות של ג'וזף ברטרנדמ-1889, קדמה ב-30 שנה לחידת מונטי הול המפורסמת יותר, ששקולה לה מבחינה מתמטית. אם החלפת דלתות ליד מונטי הול העלתה את סיכויי הזכייה במכונית מ-1/3 ל-2/3, בעולם האסירים של גרדנר, המידע שהסוהר חושף משנה את סיכויי החיים באופן זהה. אבל לא באופן שנראה אינטואיטיבי.
- יונים חכמות יותר ממתמטיקאים? המחקר שמוכיח שגם המומחים טועים
- שני מתמטיקאים שברו שיא בן 84 שנים בדרך לפתרון הבעיה הגדולה ביותר במתמטיקה
- המלצת המערכת: כל הכותרות 24/7
החידה: שלושה אסירים, סוהר ומטבע
שלושה אסירים, א', ב' ו-ג', מוחזקים בתאים נפרדים ונידונו למוות. המושל בחר באופן אקראי באחד מהם ומעניק לו חנינה. הסוהר יודע מי האסיר בר המזל, אך אסור לו לגלות.
אסיר א' פונה לסוהר ואומר: "ממילא לפחות אחד מחבריי, אסיר ב' או אסיר ג' יוצא להורג. אם אגלה מי מהם יוצא להורג, זה לא ילמד אותי דבר על גורלי שלי, כי אני לא בקבוצה הזו". הסוהר מסכים, אך שומר על הסתייגות: "אם ב' ייחנן, אני אנקוב בשם של ג'. אם ג' ייחנן, אומר את שמו של ב'. ואם אתה תיחנן, אטיל מטבע הוגן כדי להחליט אם לומר לך ב' או ג'".
לאחר שסיכמו, הסוהר אומר: "ב' ייצא להורג".
אסיר א' שמח בסתר. הוא חושב: "נהדר. עכשיו נשארנו רק אני וג'. סיכויי החנינה שלי עלו מ-1/3 ל-1/2". הוא טועה לחלוטין.
- חידת יום ההולדת של שריל: ואיך היא יכולה לעזור לכם לסגור עסקה מוצלחת
- מחקר חדש: שינה לא מספקת מקצרת חיים יותר מתזונה גרועה או חוסר פעילות גופנית
- תוכן שיווקי גידור בנאמנות: הראל Multi-Strategy (4D) מובילה את הטבלה
הפתרון: הסיכויים של ג' הוכפלו, של א' נותרו כשהיו.
התשובה המדויקת של גרדנר: הסיכויים של אסיר א' להיחנן נותרו 1/3, בדיוק כפי שהיו מההתחלה. הסיכויים של אסיר ג' להיחנן עלו מ-1/3 ל-2/3. הסיבה: הסוהר היה מחויב לציין שם של מישהו שייצא להורג, ללא קשר לזהות החנון. הצהרתו לא סיפקה שום מידע חדש על גורלו של א'.
ההוכחה נובעת מפירוק המצבים האפשריים: יש 1/3 סיכוי שא' ייחנן, ובמקרה הזה הסוהר היה מטיל מטבע ובוחר באחד מהשניים. יש 1/3 סיכוי שב' ייחנן, ובמקרה הזה הסוהר היה חייב לומר "ג'". יש 1/3 סיכוי שג' ייחנן, ובמקרה הזה הסוהר היה חייב לומר "ב'". אם הסוהר אומר "ב' יוצא להורג", הסיכוי שזה נובע מהמקרה שא' ייחנן הוא 1/6, ומהמקרה שג' ייחנן הוא 1/3. היחס הוא 1:2 לטובת ג'.
כפי שגרדנר עצמו ניסח: "הסוהר יכול לתת לא' את השם של מישהו אחר, שלא הוא, שימות, ללא קשר למי שזכה בחנינה. ההצהרה שלו לא משפיעה על סיכויי ההישרדות של א'; הם ממשיכים להיות 1/3".
למה המוח מסרב לקבל את התשובה?
הפסיכולוגים שינסוקה שימוג'ו (Shinsuke Shimojo) ושינאיצ'י איצ'יקאווה (Shin'ichi Ichikawa) פרסמו ב-1989 בכתב העת Cognition מחקר שבדק איך אנשים באמת מנתחים את הבעיה. הם מצאו שרוב הנבדקים מבצעים שגיאה שהם כינו "עדכון סיכון אחיד": כשמידע חלקי חדש מגיע, המוח מנרמל אוטומטית את הסיכויים באופן שווה בין האפשרויות שנותרו, במקום לשאול איך המידע הזה הגיע ומה הוא אומר על התהליך שיצר אותו.
זו בדיוק אותה הטיה שדניאל כהנמן ועמוס טברסקי תיעדו בסדרת המחקרים שלהם שזיכתה את כהנמן בפרס נובל בכלכלה ב-2002. האדם הטבעי לא מבחין בין "שני מקרים שקולים" לבין "שני מקרים עם מקורות הסתברותיים שונים". התוצאה: החלטות מוטות בעלויות כלכליות אמיתיות.
יישומים בעולם ההשקעות וקבלת ההחלטות
בעולם העסקי, עיקרון האסירים מופיע כל יום באופן שמשקיעים רובם לא שמים לב אליו:
ניתוח דוחות רבעוניים - כשחברה חושפת ירידה ברווחים בסגמנט אחד ושותקת על אחרים, המשקיע הנאיבי מעדכן את סיכוני החברה באופן אחיד. המשקיע המתוחכם שואל: מה מנגנון החשיפה? האם החברה הייתה חייבת לדווח, או בחרה לבודד דיווח רע יחיד? התשובה קובעת אם הירידה בסגמנט היחיד היא חדשות רעות או טובות יחסית.
אבחון רפואי - כשבדיקה מחזירה תוצאה חיובית למחלה נדירה, רופאים ומטופלים נוטים להניח שההסתברות למחלה היא בערך כמו רגישות הבדיקה (לדוגמה 95%). אבל אם המחלה נדירה (נניח 1 מ-1000), ההסתברות האמיתית לחלות בה בהינתן בדיקה חיובית יכולה להיות נמוכה בהרבה, לעתים פחות מ-20%. זה אותו מנגנון הסתברות מותנית שבלב חידת האסירים.
מסחר אלגוריתמי - חברות מסחר בתדירות גבוהה בונות מודלים שמנתחים מידע גלוי (הצעות וביקושים בספר ההזמנות) כדי להסיק מידע סמוי (כוונות של גופים מוסדיים). הניתוח הזה הוא יישום ישיר של בייסיאניזם, תחום ההסתברות שהחידה של גרדנר ממחישה. בישראל, חברות כמו Final וחטיבות המסחר של בתי ההשקעות הגדולים משתמשות בעקרונות דומים.
אבטחת מידע - פרדוקס ימי ההולדת, "קרוב משפחה" של חידת האסירים, הוא הבסיס ל"תקיפת יום הולדת", טכניקה תקיפה על פונקציות hash שמנצלת את העובדה שהתנגשויות בין ערכים נמצאות מהר הרבה יותר מכפי שהאינטואיציה מרמזת.
מה שהחידה לימדה את המתמטיקה
חידת שלושת האסירים האריכה ימים באקדמיה, הרבה יותר מכתב העת שבו פורסמה לראשונה. ויליאם פלר כלל אותה בספרו "מבוא לתורת ההסתברות ויישומיה" ב-1968. פרדריק מוסטלר פרסם ב-1969 בכתב העת 'הסטטיסטיקאי האמריקאי' מאמר שכותרתו "פלר ושלושת האסירים: האם הוא צדק?". ב-1990 כתבו פרסי דיאקוניס ודייוויד פרידמן מאמר שהציג את הקשר הפורמלי בין חידת האסירים, חידת מונטי הול ופרדוקס הקופסאות של ברטראן, והפכו את שלושתן לדוגמאות קלאסיות להוראת משפט בייס.
המסקנה המעשית היא פשוטה ולא נוחה: האינטואיציה האנושית הבסיסית לגבי סיכונים היא לקויה באופן מובנה. אנחנו מתייחסים למידע חלקי כאילו הוא ניטרלי, בזמן שהמידע נוצר בתהליך עם הטיות פנימיות. כל השקעה, כל קבלת החלטה עסקית ואפילו כל קריאה של דוח מאזן היא למעשה שאלה של "איך המידע הזה הגיע לידיי, ומה המנגנון הזה אומר על מה שלא נאמר".
67 שנה אחרי שמרטין גרדנר פרסם את חידת שלושת האסירים, המסקנה הבסיסית שלה נותרה: סיכויי השרידות של אסיר א' לא השתנו. סיכויי השרידות של המשקיע הנאיבי שלא מבין זאת, דווקא כן.
