12 מטבעות ושלוש שקילות: החידה שמותחת את גבול המידע
מטבע מזויף אחד מסתתר בין 11 מטבעות זהים, ומשקלו עשוי להיות גבוה או נמוך מהרגיל; שלוש שקילות במאזני כפות מספיקות לזיהויו ולקביעת סוג החריגה
על השולחן מונחים 12 מטבעות זהים למראה. אחד מהם מזויף ומשקלו שונה, אך כיוון השינוי נשאר פתוח: המטבע עשוי להיות כבד יותר או קל יותר. לרשות הפותר עומדים מאזני כפות ושלוש שקילות.
האתגר גדול מכפי שהוא נראה. לכל אחד מ-12 המטבעות קיימים שני מצבים אפשריים, כבד או קל, ולכן החידה כוללת 24 תשובות אפשריות. בכל שקילה מתקבלת אחת משלוש תוצאות: הכף השמאלית יורדת, הכף הימנית יורדת או שמתקבל איזון.
שתי שקילות יוצרות לכל היותר 9 רצפי תוצאות. המספר הזה מכסה פחות ממחצית מ-24 המצבים. שלוש שקילות יוצרות 27 רצפים, מרווח קטן מעל מספר התשובות הדרוש. לכן כל שקילה צריכה לחלק את קבוצת החשודים בצורה מדויקת כמעט לחלוטין.
השקילה הראשונה: ארבעה מול ארבעה
מסמנים את המטבעות במספרים 1 עד 12. בשקילה הראשונה מניחים את 1 עד 4 מול 5 עד 8. המטבעות 9 עד 12 נשארים בצד.
אם הכפות מתאזנות, שמונת המטבעות שנשקלו הופכים למטבעות ייחוס תקינים והזיוף נמצא בקבוצה 9 עד 12. בשקילה השנייה מניחים את 9, 10 ו-11 מול שלושה מטבעות תקינים.
איזון בשקילה הזאת מצביע על מטבע 12. שקילה של 12 מול מטבע ייחוס תגלה אם הוא כבד או קל. אם השלישייה החשודה מטה את המאזניים, כיוון ההטיה כבר מגלה את סוג הזיוף. השקילה השלישית משווה בין 9 ל-10: איזון מצביע על 11, והטיה מצביעה על המטבע המתאים לכיוון שכבר זוהה.
המסלול המעניין מתחיל כשהשקילה הראשונה מסתיימת בהטיה. נניח שהצד של מטבעות 1 עד 4 קל יותר. כעת קיימות שמונה אפשרויות: אחד המטבעות 1 עד 4 קל, או אחד המטבעות 5 עד 8 כבד. המטבעות 9 עד 12 תקינים ומשמשים כקבוצת ביקורת.
בשקילה השנייה מציבים את 1, 2, 7 ו-8 מול 5, 9, 10 ו-11. איזון מצמצם את החשודים ל-3 קל, 4 קל או 6 כבד. השוואה בין 3 ל-4 מכריעה: איזון מסמן את 6, והטיה מסמנת את המטבע הקל.
אם הצד השמאלי קל גם בשקילה השנייה, החשודים הם 1 קל, 2 קל או 5 כבד. השוואה בין 1 ל-2 מספקת את התשובה. אם הצד השמאלי כבד, החשודים הם 7 ו-8, ושקילה ביניהם מזהה את הכבד. כשההטיה הראשונה מגיעה בכיוון ההפוך, אותו מסלול פועל עם החלפה בין כבד לקל.
- חידה מתמטית: הגשר, הפנס ו-17 הדקות: מתי האדם המהיר צריך להפסיק לרוץ
- חידה מתמטית: שתי מעטפות, באחת יש סכום כפול, איך בוחרים? והחישוב שמבטיח רווח של 25%
כמה מצבים כל בדיקה מסוגלת להפריד
החידה, שהופיעה בדפוס כבר באמצע שנות ה-40, נחשבת לדוגמה מוקדמת לחשיבה במונחי מידע. השאלה המרכזית עוסקת בכמות המצבים שכל בדיקה מסוגלת להפריד. אותו רעיון עומד מאחורי בדיקות רפואיות, איתור תקלות במערכות ותכנון ניסויים: בדיקה טובה מחלקת את האפשרויות לקבוצות דומות בגודלן.
גם חידת הדולר הנעלם נשענת על ארגון שגוי של מידע מספרי, בעוד חידת יום ההולדת של שריל משתמשת בשלילה הדרגתית של מועדים עד שנותרת תשובה יחידה.
עבור משקיעים, המקבילה היא בניית עץ החלטות. נתון כספי שמחלק את האפשרויות בין תרחיש חיובי לתרחיש שלילי מספק מידע חלקי. נתון שמפריד בין שלושה מצבים בעלי הסתברות דומה עשוי להיות בעל ערך גבוה יותר. בחידת המטבעות, שלוש תוצאות בכל שקילה מייצרות 27 מסלולים אפשריים. ניצול נכון של כמעט כולם מאפשר למצוא חריגה אחת מתוך 24 אפשרויות.
