האריח שפתר חידה מתמטית של 60 שנה מסובב עכשיו את האור

ב-2023 מצא טכנאי דפוס בגמלאות מאנגליה צורה שמתמטיקאים חיפשו עשרות שנים: אריח אחד, שאפשר לרצף בו משטח אינסופי בלי שהדוגמה תחזור על עצמה אף פעם. שלוש שנים אחר כך, אותה צורה מתגלה כמשהו שמעניין גם את הפיזיקאים. חוקרים מאוניברסיטת טוקיו מצאו שמבנים זעירים שבנויים לפיה גורמים לאור להתנהג בצורה שלא נראתה קודם.

הצורה נקראת "הכובע של סמית'", על שם מגלה שלה, דייוויד סמית'. היא פתרה את מה שמכונה "בעיית האיינשטיין". השם לא קשור לאלברט איינשטיין, אלא לביטוי הגרמני ein Stein, "אבן אחת". השאלה הייתה אם קיים אריח יחיד שיכול לכסות משטח בלי ליצור דוגמה חוזרת. לוח שחמט וכוורת חוזרים על עצמם בקביעות. הכובע, לעומתם, ממלא את כל המשטח ולא מתיישב אף פעם בסדר מחזורי.

מה בדיוק גילו ביפן

החוקרים, בהובלת יוטו מוריטאקה ומסאיה נוטומי מהמכון למדעי התעשייה של אוניברסיטת טוקיו, חרטו את דוגמת הכובע בגודל זעיר, קטן בהרבה מעובי של שערה, על שכבה דקה של סיליקון ניטריד, חומר שמשמש בשבבים וברכיבים אופטיים. אחר כך האירו את הדוגמה בלייזר ובדקו מה קורה לאור שעובר דרכה. המחקר פורסם בכתב העת Nature Communications.

כשאור פוגע בדוגמה זעירה וסדורה, הוא מתפצל ויוצר על מסך שמאחוריה תבנית של נקודות אור, מעין טביעת אצבע של המבנה. לתופעה קוראים עקיפה, ובזכותה מדענים מפענחים כבר יותר ממאה שנה את המבנה של גבישים. גרסה פשוטה שלה אפשר לראות כשמסתכלים על פנס רחוב דרך וילון דק.

בכל הדוגמאות שהכירו עד היום, בגבישים רגילים וגם בריצופים של פנרוז ובקוואזי-גבישים, תבנית האור יצאה סימטרית. אם הופכים אותה כמו בראי, מקבלים את אותה תבנית. אצל הכובע זה לא קרה. תבנית האור נראתה כמו גלגל רוח שמסתובב לכיוון אחד, ולגלגל כזה יש צד, כמו כפפה ימנית ושמאלית שאי אפשר להפוך אחת לשנייה. לתכונה הזאת קוראים כיראליות.

הסיבה נמצאת באריח עצמו. כדי לרצף משטח בכובע צריך להשתמש גם בעותקים הפוכים שלו, תמונות מראה, אבל הם מיעוט קטן מכל האריחים. לכן לדוגמה כולה אין סימטריית מראה. "דפוסי העקיפה עצמם הופכים לכיראליים, כי למבנה אין סימטריית מראה", הסביר מוריטאקה. התבנית השתנתה גם לפי הכיוון והקיטוב של האור, וכשהחוקרים בנו את תמונת המראה של המבנה, גם התגובה של האור התהפכה.

החידוש, בקיצור: דוגמה שלא חוזרת על עצמה, ובנויה מאריח אחד, "מסובבת" את האור לכיוון מסוים, והתכונה הזאת נובעת מהצורה של הדוגמה, לא מהחומר. סיליקון ניטריד עצמו לא עושה דבר כזה.

60 שנה של חיפוש

הדרך לכובע הייתה ארוכה. ב-1961 שיער המתמטיקאי האו וואנג שכל סט של אריחים שיכול לרצף משטח, יכול לעשות זאת גם בדוגמה חוזרת. ב-1966 הפריך אותו תלמידו, רוברט ברגר, שמצא סט של 20,426 אריחים שיכולים לרצף משטח באופן לא מחזורי בלבד. בשנות ה-70 צמצם הפיזיקאי הבריטי רוג'ר פנרוז את המספר לשני אריחים בלבד, ויצר את "ריצוף פנרוז" המפורסם. פנרוז זכה ב-2020 בפרס נובל לפיזיקה, אם כי על עבודתו על חורים שחורים. הצעד האחרון, מאריחים לאריח אחד, חיכה עוד כמעט 50 שנה.

לריצופים האלה יש גם גרסה בטבע, והיא ישראלית. ב-1982 גילה דן שכטמן מהטכניון גביש שהאטומים שבו מסודרים בסדר מדויק אבל לא חוזר, תבנית שנחשבה עד אז בלתי אפשרית. הקהילה המדעית דחתה אותו במשך שנים, והכימאי לינוס פאולינג, זוכה נובל כפול, לעג לרעיון בפומבי. ב-2011 זכה שכטמן בפרס נובל לכימיה על גילוי הקוואזי-גבישים. כתבנו כאן על הזכייה.

• בינה מלאכותית הוכיחה שתורת יאנג-מילס קיימת: ועדת פיזיקאים אישרה את ההוכחה של OpenAI
• חידה מתמטית: שני משחקים מפסידים, ויחד הם מרוויחים. איך זה אפשרי?

למה זה מעניין מעבר למתמטיקה

כמה חודשים אחרי גילוי הכובע מצאו סמית' ושותפיו גם צורה שנקראת "ספקטר", שמרצפת משטח בלי חזרה ובלי צורך בתמונות מראה בכלל.

לפי החוקרים, מבנים כאלה יוכלו לשמש בעתיד לשליטה באור ובקיטוב שלו ולפיתוח רכיבים אופטיים מתקדמים. אור שיש לו "צד" משמש כבר היום בתחומים אחרים, למשל כדי להבחין בין גרסה ימנית ושמאלית של אותה מולקולה בתעשיית התרופות, שבה לשתי הגרסאות יכולה להיות השפעה שונה לגמרי. זה עוד מקרה שבו שאלה מתמטית מופשטת, שנראתה כמו משחק של חובבים, מגיעה בסוף למעבדה. כתבנו כאן גם על חידה מתמטית פשוטה שאף אחד עוד לא פתר.