האריח שפתר חידה מתמטית של 60 שנה מסובב עכשיו את האור
ב-2023 מצא טכנאי דפוס בגמלאות מאנגליה צורה שמתמטיקאים חיפשו עשרות שנים: אריח אחד, שאפשר לרצף בו משטח אינסופי בלי שהדוגמה תחזור על עצמה אף פעם. שלוש שנים אחר כך, אותה צורה מתגלה כמשהו שמעניין גם את הפיזיקאים. חוקרים מאוניברסיטת טוקיו מצאו שמבנים זעירים שבנויים לפיה גורמים לאור להתנהג בצורה שלא נראתה קודם.
הצורה נקראת "הכובע של סמית'", על שם מגלה שלה, דייוויד סמית'. היא פתרה את מה שמכונה "בעיית האיינשטיין". השם לא קשור לאלברט איינשטיין, אלא לביטוי הגרמני ein Stein, "אבן אחת". השאלה הייתה אם קיים אריח יחיד שיכול לכסות משטח בלי ליצור דוגמה חוזרת. לוח שחמט וכוורת חוזרים על עצמם בקביעות. הכובע, לעומתם, ממלא את כל המשטח ולא מתיישב אף פעם בסדר מחזורי.
במחקר החדש, שפורסם ב-Nature Communications, בנו החוקרים בהובלת יוטו מוריטאקה ומסאיה נוטומי גרסאות ננומטריות של הדוגמה על שכבה דקה של סיליקון ניטריד, והאירו אותן בלייזר. דפוסי העקיפה של האור יצרו צורות שנראות כמו גלגלי רוח, והתברר שהם כיראליים: כמו יד ימין ויד שמאל, אי אפשר להניח אותם על תמונת המראה שלהם.
| שנה | מה קרה |
|---|---|
| 1961 | האו וואנג משער שאי אפשר לרצף משטח בלי חזרה מחזורית |
| 1966 | רוברט ברגר מפריך: מוצא סט של 20,426 אריחים שלא חוזר על עצמו |
| 1974 | רוג'ר פנרוז מצמצם לשני אריחים בלבד |
| 1982 | דן שכטמן מגלה בטבע גביש עם סדר לא מחזורי, ומקבל נובל ב-2011 |
| 2023 | דייוויד סמית' מוצא את "הכובע", אריח יחיד שעושה את זה |
| 2026 | חוקרים ביפן מראים שהכובע מסובב את האור |
"דפוסי העקיפה עצמם הופכים לכיראליים, כי למבנה אין סימטריית מראה", הסביר נוטומי. "זו תגובה אופטית ששונה מהותית ממה שרואים בחומרים קוואזי-גבישיים רגילים". דפוס העקיפה השתנה גם לפי הכיוון והקיטוב של האור, וכשהחוקרים בנו את תמונת המראה של המבנה, גם התגובה של האור התהפכה.
60 שנה של חיפוש
הדרך לכובע הייתה ארוכה. ב-1961 שיער המתמטיקאי האו וואנג שכל סט של אריחים שיכול לרצף משטח, יכול לעשות זאת גם בדוגמה חוזרת. ב-1966 הפריך אותו תלמידו, רוברט ברגר, שמצא סט של 20,426 אריחים שיכולים לרצף משטח באופן לא מחזורי בלבד. בשנות ה-70 צמצם הפיזיקאי הבריטי רוג'ר פנרוז את המספר לשני אריחים בלבד, ויצר את "ריצוף פנרוז" המפורסם. פנרוז זכה ב-2020 בפרס נובל לפיזיקה, אם כי על עבודתו על חורים שחורים. הצעד האחרון, מאריחים לאריח אחד, חיכה עוד כמעט 50 שנה.
לריצופים האלה יש גם גרסה בטבע, והיא ישראלית. ב-1982 גילה דן שכטמן מהטכניון גביש שהאטומים שבו מסודרים בסדר מדויק אבל לא חוזר, תבנית שנחשבה עד אז בלתי אפשרית. הקהילה המדעית דחתה אותו במשך שנים, והכימאי לינוס פאולינג, זוכה נובל כפול, לעג לרעיון בפומבי. ב-2011 זכה שכטמן בפרס נובל לכימיה על גילוי הקוואזי-גבישים. כתבנו כאן על הזכייה.
למה זה מעניין מעבר למתמטיקה
מה שמייחד את הכובע הוא שבניגוד לריצופים קודמים, הוא דורש שימוש גם באריחים הפוכים, תמונות מראה של עצמו. זו כנראה בדיוק הסיבה שהאור מגיב אליו בצורה כיראלית. כמה חודשים אחרי גילוי הכובע, מצאו סמית' ושותפיו גם צורה שנקראת "ספקטר", שמרצפת בלי חזרה ובלי צורך בתמונות מראה בכלל.
לפי החוקרים, מבנים כאלה יוכלו בעתיד לשמש לשליטה באור ובקיטוב שלו ולפיתוח רכיבים אופטיים מתקדמים. זה עוד מקרה שבו שאלה מתמטית מופשטת, שנראתה כמו משחק של חובבים, מגיעה בסוף למעבדה. גם כאן כתבנו על חידה מתמטית פשוטה שאף אחד עוד לא פתר.
