שתי מעטפות, אותו כסף: החישוב שמבטיח רווח של 25% ומתפרק בדרך

שתי מעטפות מונחות על השולחן. באחת נמצא סכום מסוים ובשנייה סכום כפול. המשתתף בוחר מעטפה, ובהמשך מקבל אפשרות להחליף אותה במעטפה שנותרה. השאלה פשוטה: האם ההחלפה משפרת את מצבו?

במבט ראשון נראה ששתי הבחירות שוות. כל מעטפה נבחרת בהסתברות של 50%, ולכן ההחלפה משאירה את אותו סיכוי לקבל את הסכום הגבוה. אלא שחישוב קצר מייצר מסקנה אחרת.

נסמן ב-A את הסכום במעטפה שנבחרה. המעטפה השנייה מכילה לכאורה 2A בהסתברות של 50%, או A חלקי 2 בהסתברות של 50%. תוחלת ההחלפה מתקבלת באמצעות חיבור שני התרחישים: מחצית מ-2A ועוד מחצית מ-A חלקי 2. התוצאה היא 1.25A. כלומר, ההחלפה מבטיחה לכאורה תוספת ממוצעת של 25%.

הבעיה מופיעה מיד: אותו חישוב תקף גם למעטפה השנייה. החלפה נוספת אמורה להוסיף עוד 25%, וכך גם ההחלפה הבאה. שתי מעטפות סגורות וסימטריות הפכו בדרך פלא למכונה שמייצרת כסף מכל מעבר.

שני ערכים שונים שקיבלו את אותו שם

הפתרון מתחיל בסימון שונה. הסכום הקטן הוא x והסכום הגדול הוא 2x. בחצי מהמקרים נבחר x ובחצי נבחר 2x, ולכן תוחלת המעטפה שנבחרה היא 1.5x. גם תוחלת המעטפה שנותרה היא 1.5x. החלפה משנה את זהות המעטפה ומשאירה את התוחלת באותו גובה.

השגיאה נובעת מהתפקיד הכפול שניתן ל-A. בתרחיש הראשון A מייצג את הסכום הקטן, ובתרחיש השני הוא מייצג את הסכום הגדול. אלה שני ערכים שונים: x במקרה אחד ו-2x במקרה האחר. החישוב המפתה מתייחס אליהם כאילו מדובר בסכום קבוע ומעניק לכל אחד משני התרחישים הסתברות של 50%.

פתיחת המעטפה משנה את השאלה. נניח שהתגלו בה 100 שקל. המעטפה השנייה עשויה להכיל 50 או 200 שקל, אך עצם קיומן של שתי אפשרויות מעניק להן אפס מידע על ההסתברויות. המשקל של כל תרחיש תלוי בדרך שבה נקבעו הסכומים.

נניח שמארגן המשחק בוחר זוג של 50 ו-100 שקל בהסתברות של 90%, וזוג של 100 ו-200 שקל בהסתברות של 10%. מי שמצא 100 שקל מחזיק בסכום הגבוה מהזוג הראשון בהסתברות של 90%, ובסכום הנמוך מהזוג השני בהסתברות של 10%. תוחלת ההחלפה תהיה 65 שקל: 90% כפול 50, ועוד 10% כפול 200. במקרה הזה שמירת המעטפה עדיפה.

אותה טעות, הפעם בתיק ההשקעות

זהו אותו עיקרון שמופיע בחידת שלושת האסירים והמידע שמוסר הסוהר: התשובה תלויה בתהליך שיצר את המידע, ולא במספר האפשרויות הגלויות. גם המחקר שבו יונים התמודדו עם בעיית הסתברות שהכשילה מומחים ממחיש עד כמה המוח ממהר לחלק הסתברות באופן שווה בין תרחישים.

• 23 אנשים בחדר: הסיכוי המפתיע ששניים חולקים יום הולדת
• כמעט שליש מהמספרים בעולם מתחילים בספרה 1, וזה מה שמפיל מזייפים

הטעות חוזרת בעולם ההשקעות. מניה שמחירה 100 שקל עשויה לעלות ל-200 או לרדת ל-50, אך שני תרחישים אפשריים אינם שקולים אוטומטית. לכל אחד נדרש משקל המבוסס על הכנסות, חוב, תחרות, תמחור ומצב הענף. הענקת הסתברות של 50% לכל תוצאה יוצרת תוחלת של 125 שקל, בדיוק כמו במעטפות, וגם כאן המספר המרשים נשען על הנחה חסרה.