23 אנשים בחדר: הסיכוי המפתיע ששניים חולקים יום הולדת
רוב האנשים מעריכים שנדרשת קבוצה גדולה בהרבה, אך 23 משתתפים מספיקים כדי לעבור הסתברות של 50%; פרדוקס יום ההולדת חושף את הכוח של ריבוי השוואות ומסביר סיכונים בהצפנה, במסדי נתונים וגם בהחלטות פיננסיות
כמה אנשים צריכים להיכנס לחדר עד שהסיכוי שלשניים מהם יש יום הולדת באותו תאריך יעבור 50%? התשובות האינטואיטיביות נעות בדרך כלל סביב 100, 180 ולעיתים 365. התשובה המתמטית נמוכה בהרבה: 23 אנשים מעלים את ההסתברות ל-50.73%.
השם "פרדוקס יום ההולדת" מתאר תוצאה שנראית מפתיעה במבט ראשון, אף שהחישוב עקבי לחלוטין. מקור ההפתעה הוא השאלה שהמוח נוטה לפתור. אנשים חושבים על הסיכוי שמישהו בחדר חולק יום הולדת עם אדם מסוים. במקרה הזה, קבוצה של 23 מעניקה סיכוי צנוע למדי. החידה שואלת על התאמה בין כל שני אנשים בחדר, ומספר ההשוואות גדל במהירות.
בקבוצה של 23 אנשים קיימים 253 זוגות אפשריים. הנוסחה היא מספר המשתתפים כפול מספר המשתתפים פחות אחד, חלקי שתיים. בקבוצה של 50 כבר קיימים 1,225 זוגות. כל זוג מוסיף הזדמנות להתאמה, ולכן הסיכוי מצטבר בקצב מהיר בהרבה מהתחושה הראשונית.
החישוב מתחיל דווקא מהאירוע ההפוך
הדרך הנוחה לחישוב מתחילה באירוע ההפוך: ההסתברות שכל ימי ההולדת שונים. האדם הראשון יכול להיוולד בכל אחד מ-365 ימי השנה. עבור האדם השני נשארים 364 תאריכים ששומרים על שונות, ולכן ההסתברות היא 364 חלקי 365. עבור השלישי נשארים 363 תאריכים, ובהמשך 362, 361 וכן הלאה. מכפילים את כל השברים עד האדם ה-23 ומקבלים כ-49.27%. ההסתברות המשלימה, שלפחות זוג אחד חולק תאריך, עומדת על כ-50.73%. החישוב המלא של בעיית יום ההולדת מבוסס על אותו כפל מצטבר.
העלייה ממשיכה במהירות. בקבוצה של 30 אנשים ההסתברות להתאמה מגיעה לכ-70.6%. עם 40 אנשים היא מתקרבת ל-89.1%, וב-50 היא כבר עומדת על כ-97%. קבוצה של 57 אנשים עוברת 99%. המספר 183 שייך לשאלה אחרת: כמה אנשים דרושים כדי שלאדם מסוים תהיה הסתברות קרובה ל-50% לחלוק תאריך עם מישהו מהקבוצה.
המודל מניח 365 ימים, התפלגות אחידה ועצמאות בין תאריכי הלידה. בעולם האמיתי קיימים הבדלים עונתיים בשיעורי הלידות, ותאומים מוסיפים תלות בין תאריכים. השינויים האלה משפיעים על המספר המדויק, בעוד העיקרון נשמר: ריבוי זוגות מעלה במהירות את סיכויי ההתנגשות.
מתקפת יום הולדת: מהמסיבה אל ההצפנה
החידה חורגת הרבה מעבר למסיבות יום הולדת. בהצפנה ובמערכות מחשב משתמשים במושג "התנגשות" כאשר שני קלטים שונים מפיקים אותו ערך גיבוב. אם למערכת יש N ערכים אפשריים, התנגשות נעשית סבירה כבר סביב השורש הריבועי של N, ולא סביב N ניסיונות. עבור גיבוב באורך 256 ביט, רמת העמידות הכללית מול חיפוש התנגשות מקבילה בקירוב ל-128 ביט. מכאן נולד גם הכינוי "מתקפת יום הולדת".
העיקרון שימושי גם בהערכת סיכונים. אירוע עם הסתברות של 1% בכל ניסיון נשמע נדיר. בסדרה של 100 ניסיונות עצמאיים, ההסתברות שהוא יתרחש לפחות פעם אחת מגיעה לכ-63.4%. החישוב הוא אחד פחות 0.99 בחזקת 100. אותו פער בין סיכון בעסקה יחידה לבין סיכון מצטבר בתיק שלם מופיע שוב ושוב בהשקעות, באשראי ובביטוח.
ההשוואה לסיכויי הזכייה בלוטו מחדדת את ההבדל. בלוטו נדרש כרטיס מסוים לפגוע בצירוף הזוכה, בעוד בחידת יום ההולדת כל זוג מתאים נחשב הצלחה. זו גם אחת הסיבות לכך שהערכת הסתברויות מדויקת, שנמצאה קשורה לאיכות קבלת ההחלטות של משקיעים, דורשת ספירה של כלל ההזדמנויות לאירוע.
- שתי מעטפות, אותו כסף: החישוב שמבטיח רווח של 25% ומתפרק בדרך
- כמעט שליש מהמספרים בעולם מתחילים בספרה 1, וזה מה שמפיל מזייפים
תאריכי לידה מזינים גם חידה אחרת לגמרי, חידת יום ההולדת של שריל, שנפתרת בדרך של היסק לוגי מתוך דיאלוג ולא בחישוב הסתברות. בקבוצה של 23, המספר שמכריע את החידה הנוכחית הוא 253 זוגות, ולא 23 אנשים.
