חידה מתמטית: 980 מדבקות באלבום המונדיאל, כמה חבילות צריך?
אלבום המדבקות הרשמי של פאניני למונדיאל 2026 שבר שיא: 980 מדבקות של 48 נבחרות, ו-7 מדבקות בכל חבילה. החידה נשמעת כמו תרגיל חילוק לכיתה ד': כמה חבילות צריך לקנות, בממוצע, כדי למלא את האלבום עד המדבקה האחרונה?
רוב האנשים מחלקים 980 ב-7 ומקבלים 140 חבילות. מי שזוכר שיהיו גם כפולות מוסיף עוד קצת, ומגיע ל-200 או ל-300. התשובה הנכונה גבוהה פי 7 וחצי מהניחוש הראשון, ורוב הכסף הולך על כמה עשרות מדבקות בסוף הדרך.
רמז: אל תחשבו על האלבום כולו. חשבו על כל מדבקה חדשה בנפרד, ושאלו כמה מדבקות צריך לפתוח עד שהיא מגיעה, כשרוב המקומות באלבום כבר מלאים.
רוצים לבדוק בעצמכם? במחשבון שמתחת אפשר לשחק עם המספרים ולראות כמה חבילות ייקח למלא אלבום, ומה קורה לחשבון כשמחליפים כפולות עם חברים.
התוכן והמידע של נתוני המחשבון והכלי האינטראקטיבי
עמוד 1: החשבון
| נתון | ערך |
|---|---|
| חבילות בממוצע, אספן לבד | 1,045 |
| מדבקות שנפתחות בממוצע | 7,316, מהן 6,336 כפולות |
| העלות הממוצעת | 2,090 $ |
| על הנייר, בלי אף כפולה | 140 חבילות, 280 $ |
| פי כמה מהחשבון על הנייר | פי 7.5 |
| המדבקה האחרונה לבדה | 140 חבילות |
| השלב | מדבקות בממוצע | חבילות בממוצע |
|---|---|---|
| חצי האלבום הראשון (490 מדבקות) | 679 | 97 |
| עד 900 מדבקות | 2,450 | 350 |
| 80 המדבקות האחרונות | 4,866 | 695 |
| המדבקה האחרונה לבדה | 980 | 140 |
| האלבום כולו | 7,316 | 1,045 |
| חברים בקבוצה | חבילות לכל אחד | חבילות לכל הקבוצה | עלות לכל אחד | חיסכון מול אספן לבד |
|---|---|---|---|---|
| 1 (לבד) | 1,045 | 1,045 | 2,090 $ | - |
| 2 | 689 | 1,378 | 1,378 $ | 34% |
| 3 | 554 | 1,663 | 1,108 $ | 47% |
| 4 | 481 | 1,924 | 962 $ | 54% |
| 5 | 434 | 2,171 | 868 $ | 58% |
| 6 | 401 | 2,408 | 803 $ | 62% |
| 8 | 357 | 2,859 | 715 $ | 66% |
| 10 | 329 | 3,289 | 658 $ | 69% |
| 15 | 287 | 4,310 | 575 $ | 73% |
| 20 | 264 | 5,281 | 528 $ | 75% |
עמוד 2: התקדמות האלבום
| חבילות | מדבקות שונות באלבום | חסרות | החלק המלא |
|---|---|---|---|
| 50 | 294 | 686 | 30.0% |
| 100 | 500 | 480 | 51.1% |
| 140 | 620 | 360 | 63.2% |
| 200 | 745 | 235 | 76.1% |
| 300 | 865 | 115 | 88.3% |
| 500 | 952.5 | 27.5 | 97.2% |
| 700 | 973.4 | 6.6 | 99.3% |
| 1,000 | 979.2 | 0.8 | 99.9% |
| 1,045 | 979.4 | 0.6 | 99.9% |
| חבילות לכל אחד | מדבקות באלבום | חסרות |
|---|---|---|
| 50 | 347 | 633 |
| 100 | 647 | 333 |
| 200 | 927.4 | 52.6 |
| 300 | 974.9 | 5.1 |
| 434 | 979.9 | 0.1 |
הערות
למה זה מפתיע
הניחוש של 140 חבילות נכון רק בעולם שבו אף מדבקה לא חוזרת. בפועל הכפולות מתחילות מוקדם מאוד: כבר בשש החבילות הראשונות, 42 מדבקות, הסיכוי לקבל לפחות כפולה אחת הוא כ-59%. זו אותה מתמטיקה של התנגשויות שמסבירה למה בחדר של 23 אנשים יש סיכוי של יותר מחצי ששניים חולקים יום הולדת.
הכפולות גם לא מתפזרות שווה לאורך הדרך. החצי הראשון של האלבום מתמלא מהר, בפחות מ-100 חבילות, ונותן תחושה שהסוף קרוב. אחרי 140 חבילות, כמות שמספיקה על הנייר לאלבום שלם, יש בממוצע רק כ-620 מדבקות שונות וחסרות עוד כ-360. ככל שהאלבום מתמלא, כל חבילה נוספת מביאה פחות חידושים.
הסוף הוא החלק היקר. 80 המדבקות האחרונות, פחות מעשירית מהאלבום, אחראיות לשני שלישים מכל החבילות. והמדבקה האחרונה לבדה דורשת בממוצע 140 חבילות, בדיוק המספר שהיה אמור להספיק לכל האלבום.
גם הגודל של האלבום עובד נגד האספן. המספר ההרמוני גדל עם האלבום, ולכן אלבום כפול בגודלו דורש יותר מפי שניים חבילות. אלבום של 490 מדבקות היה מתמלא בממוצע אחרי כ-474 חבילות, ואילו האלבום של 980 דורש כ-1,045, פי 2.2. כל הרחבה של הסדרה מייקרת את המדבקה הממוצעת, גם כשמחיר החבילה נשאר במקום.
יש בחישוב גם הנחה שמקלה מעט על האספן. אם בכל חבילה שבע המדבקות שונות זו מזו, ההבדל זניח: באלבום של 980 מקומות, הסיכוי לכפולה בתוך חבילה אחת הוא כ-2% בלבד. מה שמשנה את התמונה הוא האם יש מדבקות נדירות יותר מאחרות. במצב כזה המספרים רק עולים, כי הזנב הארוך נקבע לפי המדבקה הקשה ביותר להשגה.
הידעת?מה קורה כשכמה אספנים חולקים את אותן חבילות?
כמה עולה לאסוף סדרה, ולמה כדאי להחליף
כאן ההחלפות נכנסות לתמונה. נניח שחמישה חברים מאחדים את כל המדבקות שלהם ומחליפים ביניהם עד שלכל אחד יש אלבום מלא. הם צריכים יחד כ-2,171 חבילות, כ-434 לכל אחד. במחיר האמריקאי זה כ-868 דולר לאדם, פחות ממחצית מהסכום של אספן בודד.
החיסכון גדל עם הקבוצה, אבל בקצב יורד. שני חברים צריכים כ-689 חבילות כל אחד, שלושה כ-554, ועשרה כ-329. הסיבה: כפולה שלכם היא בדיוק המדבקה שחסרה למישהו אחר, וכך מה שהיה בזבוז בעבודה לבד הופך לסחורה למסחר. החישוב מניח החלפה מלאה, שבה כל כפולה מוצאת את מי שצריך אותה.
גם לאספן שאין לו קבוצה קבועה יש נקודת מעבר ברורה. אחרי 300 חבילות יש בממוצע כ-865 מדבקות שונות, וחסרות כ-115. אחרי 500 חבילות חסרות כ-27. בשלב הזה חבילה של 7 מדבקות מוסיפה בממוצע חמישית של מדבקה חדשה, ולכן החלפה עם אספנים אחרים, בקבוצות ברשת או במפגשים, חוסכת יותר מכל קנייה.
המנגנון הזה מוכר גם מחוץ לעולם הכדורגל. מבצעי "אספו את כולם" ברשתות שיווק, בדגני בוקר ובמשחקים בנויים על אותה עקומה: התחלה מהירה שיוצרת מחויבות, וזנב ארוך שבו כל פריט חסר עולה יותר. גם באלבום הזה יש שכבה נוספת: 12 מדבקות מיוחדות מחולקות רק במבצעים על בקבוקי קוקה קולה, מחוץ ל-980.
אפשר לתרגם את זה גם למחיר של מדבקה בודדת. במחיר האמריקאי, כל מדבקה בחבילה עולה כ-29 סנט. אבל מי שאוסף לבד משלם בממוצע כ-2.13 דולר לכל מקום שמתמלא באלבום, והמקום האחרון עולה לו בממוצע 280 דולר, סכום שהיה מספיק לאלבום מושלם.
- בלי שרוול: שעון חכם של גוגל זיהה 2 מכל 3 מקרים של יתר לחץ דם
- אחד מכל 9 מבוגרים חולה בסוכרת: איך נמנעים, איך יורדים ומי מרוויח
תוכניות נאמנות רגילות, כמו כרטיס ניקוב בבית קפה, עובדות אחרת. שם כל רכישה מוסיפה ניקוב אחד, והלקוח יודע מראש כמה יעלה לו הפרס. באלבום האקראיות היא חלק מהמוצר: היא מושכת את הקנייה לאורך חודשים, ומעלה את המחיר האמיתי של הסדרה הרבה מעל מה שנראה בקופה.
המחירים כאן לקוחים מחו"ל, כי מחיר רשמי לחבילה בישראל לא מצאנו ממקור אמין. אבל היחסים נשמרים בכל מטבע: אספן בודד משלם בממוצע פי 7.5 מהמחיר של אלבום מושלם, וחמישה חברים שמחליפים מורידים את המכפיל לכ-3.1.
