חידה מתמטית: מיליון שקל עכשיו או אגורה שמוכפלת כל יום במשך חודש?
נניח שעומדות לפניכם שתי הצעות. הראשונה: מיליון שקל במזומן, היום. השנייה: אגורה אחת היום, שתי אגורות מחר, ארבע ביום השלישי, וכך הלאה. בכל יום התשלום מוכפל, והתשלומים נמשכים 30 יום. איזו הצעה שווה יותר?
רוב האנשים בוחרים במיליון כמעט מיד. ההיגיון נשמע משכנע: מיליון שקל הם סכום שמשנה חיים, ואגורה היא מטבע שאנשים כבר לא טורחים להרים מהמדרכה. גם השבוע הראשון מחזק את התחושה. ביום השביעי התשלום עומד על 64 אגורות, והסך המצטבר הוא 1.27 שקל, פחות ממחיר של כוס קפה.
גם אחרי עשרה ימים התמונה כמעט לא זזה. ביום העשירי מתקבלים 5.12 שקל, ובסך הכול הצטברו 10.23 שקל. מי שבחר במיליון מרגיש שהחליט נכון.
רמז: עשר הכפלות
מספר אחד מספיק כדי לפתור את החידה בראש: 1,024. זו התוצאה של עשר הכפלות רצופות, 2 בחזקת 10. בכל עשרה ימים התשלום היומי גדל פי 1,024, בערך פי אלף. אגורה ביום הראשון הופכת ל-10.24 שקל ביום ה-11, ל-10,485.76 שקל ביום ה-21, ולמעלה מ-10 מיליון שקל ביום ה-31. בחידה החודש נגמר יום אחד קודם, וזה משאיר שאלה פתוחה: מה הצטבר עד אז, והאם זה מספיק כדי לעקוף את המיליון?
בדקו בעצמכם במחשבון: כמה תצבור האגורה אחרי כל מספר ימים, ומה עושה אחוז אחד של דמי ניהול לחיסכון שלכם.
התוכן והמידע של נתוני המחשבון והכלי האינטראקטיבי
עמוד 1: האגורה המוכפלת
| נתון | ערך |
|---|---|
| הסכום של יום 30 לבדו | 5,368,709.12 ₪ |
| הסכום המצטבר בימים 1 עד 30 | 10,737,418.23 ₪ |
| המצטבר מול מיליון שקל עכשיו | פי 10.7 |
| היום שבו הסכום היומי עובר מיליון | יום 28 (1,342,177.28 ₪) |
| היום שבו המצטבר עובר מיליון | יום 27 (1,342,177.27 ₪) |
| המצטבר אחרי 20 יום | 10,485.75 ₪, 1.05% מהמיליון |
| החלק שנוצר בחמשת הימים האחרונים (26 עד 30) | 96.9% |
עמוד 2: 30 הימים
| יום | הסכום של היום | המצטבר | המצטבר כאחוז מהמיליון |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.01 ₪ | 0.01 ₪ | פחות מ-0.01% |
| 2 | 0.02 ₪ | 0.03 ₪ | פחות מ-0.01% |
| 3 | 0.04 ₪ | 0.07 ₪ | פחות מ-0.01% |
| 4 | 0.08 ₪ | 0.15 ₪ | פחות מ-0.01% |
| 5 | 0.16 ₪ | 0.31 ₪ | פחות מ-0.01% |
| 6 | 0.32 ₪ | 0.63 ₪ | פחות מ-0.01% |
| 7 | 0.64 ₪ | 1.27 ₪ | פחות מ-0.01% |
| 8 | 1.28 ₪ | 2.55 ₪ | פחות מ-0.01% |
| 9 | 2.56 ₪ | 5.11 ₪ | פחות מ-0.01% |
| 10 | 5.12 ₪ | 10.23 ₪ | פחות מ-0.01% |
| 11 | 10.24 ₪ | 20.47 ₪ | פחות מ-0.01% |
| 12 | 20.48 ₪ | 40.95 ₪ | פחות מ-0.01% |
| 13 | 40.96 ₪ | 81.91 ₪ | פחות מ-0.01% |
| 14 | 81.92 ₪ | 163.83 ₪ | 0.02% |
| 15 | 163.84 ₪ | 327.67 ₪ | 0.03% |
| 16 | 327.68 ₪ | 655.35 ₪ | 0.07% |
| 17 | 655.36 ₪ | 1,310.71 ₪ | 0.13% |
| 18 | 1,310.72 ₪ | 2,621.43 ₪ | 0.26% |
| 19 | 2,621.44 ₪ | 5,242.87 ₪ | 0.52% |
| 20 | 5,242.88 ₪ | 10,485.75 ₪ | 1.0% |
| 21 | 10,485.76 ₪ | 20,971.51 ₪ | 2.1% |
| 22 | 20,971.52 ₪ | 41,943.03 ₪ | 4.2% |
| 23 | 41,943.04 ₪ | 83,886.07 ₪ | 8.4% |
| 24 | 83,886.08 ₪ | 167,772.15 ₪ | 16.8% |
| 25 | 167,772.16 ₪ | 335,544.31 ₪ | 33.6% |
| 26 | 335,544.32 ₪ | 671,088.63 ₪ | 67.1% |
| 27 | 671,088.64 ₪ | 1,342,177.27 ₪ | 134.2% |
| 28 | 1,342,177.28 ₪ | 2,684,354.55 ₪ | 268.4% |
| 29 | 2,684,354.56 ₪ | 5,368,709.11 ₪ | 536.9% |
| 30 | 5,368,709.12 ₪ | 10,737,418.23 ₪ | 1,073.7% |
עמוד 3: דמי ניהול וריבית דריבית
| נתון | ערך |
|---|---|
| סך ההפקדות (360 חודשים) | 360,000 ₪ |
| הצבירה בלי דמי ניהול (6%) | 974,513 ₪ |
| הצבירה עם דמי ניהול של 1% (5% נטו) | 815,376 ₪ |
| ההפרש בשקלים | 159,137 ₪ |
| ההפרש באחוזים מהצבירה | 16.3% |
| ההפרש במספר הפקדות חודשיות | 159 |
| דמי ניהול | תשואה נטו | הצבירה | הפער מול 0% | הפער באחוזים |
|---|---|---|---|---|
| 0% | 6% | 974,513 ₪ | 0 ₪ | 0.0% |
| 0.25% | 5.75% | 931,661 ₪ | 42,852 ₪ | 4.4% |
| 0.5% | 5.5% | 890,926 ₪ | 83,587 ₪ | 8.6% |
| 0.75% | 5.25% | 852,198 ₪ | 122,315 ₪ | 12.6% |
| 1% | 5% | 815,376 ₪ | 159,137 ₪ | 16.3% |
| 1.5% | 4.5% | 747,064 ₪ | 227,449 ₪ | 23.3% |
| 2% | 4% | 685,271 ₪ | 289,242 ₪ | 29.7% |
| שנים | סך ההפקדות | בלי דמי ניהול | עם 1% דמי ניהול | ההפרש | ההפרש באחוזים |
|---|---|---|---|---|---|
| 10 | 120,000 ₪ | 162,473 ₪ | 154,363 ₪ | 8,110 ₪ | 5.0% |
| 20 | 240,000 ₪ | 453,439 ₪ | 405,804 ₪ | 47,634 ₪ | 10.5% |
| 30 | 360,000 ₪ | 974,513 ₪ | 815,376 ₪ | 159,137 ₪ | 16.3% |
| 40 | 480,000 ₪ | 1,907,678 ₪ | 1,482,525 ₪ | 425,153 ₪ | 22.3% |
עמוד 4: כלל ה-72
| נתון | ערך |
|---|---|
| תשואה של 6%, לפי כלל ה-72 | 12.0 שנים |
| תשואה של 6%, החישוב המדויק | 11.9 שנים |
| תשואה נטו של 5% (אחרי 1% דמי ניהול), החישוב המדויק | 14.2 שנים |
| תשואה שנתית | כלל ה-72 | החישוב המדויק | הפער |
|---|---|---|---|
| 2% | 36.0 שנים | 35.0 שנים | 1.00 שנים |
| 3% | 24.0 שנים | 23.4 שנים | 0.55 שנים |
| 4% | 18.0 שנים | 17.7 שנים | 0.33 שנים |
| 5% | 14.4 שנים | 14.2 שנים | 0.19 שנים |
| 6% | 12.0 שנים | 11.9 שנים | 0.10 שנים |
| 8% | 9.0 שנים | 9.0 שנים | 0.01 שנים |
| 10% | 7.2 שנים | 7.3 שנים | 0.07 שנים |
| 12% | 6.0 שנים | 6.1 שנים | 0.12 שנים |
הערות
למה המוח טועה
המוח חושב בקווים ישרים. כשמשהו גדל בקצב קבוע, למשל 100 שקל ביום, קל לדמיין את הסוף: אחרי 30 יום יש 3,000 שקל. בצמיחה מעריכית הסכום גדל בכל יום פי אותו מספר, ולא באותו מספר שקלים, והפער בין שתי הדרכים מתרחב מיום ליום.
הטבלה ממחישה את זה. אחרי 20 יום, שני שלישים מהחודש, הצטברו 10,485.75 שקל, כאחוז אחד מהמיליון. שלושת הימים האחרונים לבדם מביאים 87.5% מכל הכסף. מי שמסתכל על ההתחלה ומסיק ממנה על הסוף מפספס בגדול, כי כמעט כל הצמיחה מרוכזת בקצה.
למיליון יש יתרון אחד אמיתי: הוא מגיע היום, ואפשר להשקיע אותו כבר מהבוקר הראשון. גם זה לא משנה את התוצאה. בתשואה שנתית של 6%, חודש של השקעה מוסיף למיליון כ-4,868 שקל. מול פער של יותר מ-9.7 מיליון שקל לטובת האגורה, התוספת הזו כמעט לא נראית בחשבון.
בספרות הכלכלית התופעה מכונה הטיית צמיחה מעריכית (exponential growth bias). אנשים מעריכים בחסר כמה כסף יצטבר בחיסכון ארוך, ובאותה מידה כמה יתפח חוב שלא נפרע. מחקרים בתחום קשרו את ההטיה הזו לחיסכון נמוך יותר ולהלוואות יקרות יותר.
הידעת?בחודש של 31 יום, היום האחרון לבדו שווה יותר מכל 30 הימים שלפניו
אגדה עתיקה מספרת על ממציא השחמט שביקש מהמלך פרס צנוע לכאורה: גרגר חיטה על המשבצת הראשונה, שניים על השנייה, ארבעה על השלישית, וכך עד המשבצת ה-64. לפי המקורות הידועים, הסיפור נרשם לראשונה במאה ה-13 בידי ההיסטוריון אבן ח'לכאן. האגדה היא אגדה, אבל החשבון אמיתי: על הלוח כולו נדרשים 18,446,744,073,709,551,615 גרגרים, יותר מ-18 מיליארד מיליארד.
ריבית דריבית: אותה אגורה, בקצב איטי
האגורה בחידה מקבלת תשואה של 100% ביום, ואין השקעה כזו בעולם. העיקרון עצמו פועל בכל חיסכון: כשהרווח מצטרף לקרן ומתחיל להרוויח בעצמו, הכסף גדל בהכפלות. זו ריבית דריבית, המנגנון שהופך 100 שקל ל-1,000, וההבדל מהחידה הוא הקצב. במקום הכפלה יומית, הכפלה אחת בכל כמה שנים.
כלל ה-72 נותן הערכה מהירה לקצב הזה: מחלקים את 72 בתשואה השנתית באחוזים, והתוצאה היא מספר השנים עד שהכסף מוכפל. ב-6% לשנה ההכפלה לוקחת כ-12 שנה, וב-8% כ-9 שנים.
| תשואה שנתית | לפי כלל ה-72 (שנים) | חישוב מדויק (שנים) |
|---|---|---|
| 3% | 24 | 23.4 |
| 5% | 14.4 | 14.2 |
| 6% | 12 | 11.9 |
| 8% | 9 | 9.0 |
| 10% | 7.2 | 7.3 |
הכלל מדויק למדי בתשואות של 5% עד 10%, והסטייה גדלה מעט בתשואות נמוכות או גבוהות מאוד. בכל מקרה מדובר בהערכה, בהנחה שהתשואה קבועה מדי שנה, וזה נדיר בשוק אמיתי.
אותו כלל עובד גם על חובות. הלוואה שלא נפרעת וצוברת ריבית של 18% בשנה מוכפלת בתוך קצת יותר מ-4 שנים, וזה בדיוק המקום שבו ההטיה המעריכית עולה ביוקר.
הידעת?כלל ה-72 מופיע בספר מתמטיקה שנדפס לפני יותר מ-500 שנה
דמי ניהול: נקודת אחוז ששווה כמעט 160 אלף שקל
המנגנון פועל גם בכיוון ההפוך. דמי ניהול נגבים בכל שנה כאחוז מהצבירה, ולכן הם מאטים את קצב ההכפלה עצמו. נניח חיסכון חד-פעמי של 100,000 שקל ל-30 שנה. אם הוא מניב 6% בשנה, הוא יגיע ל-574,349 שקל. אם דמי הניהול מורידים את התשואה נטו ל-5%, הסכום ייעצר על 432,194 שקל.
היחס בין שתי התוצאות הוא 1.05 חלקי 1.06, בחזקת 30, כ-0.752. נקודת אחוז אחת בשנה מקטינה את הסכום הסופי בכמעט רבע.
בחיסכון חודשי הפער באחוזים קטן יותר, כי ההפקדות המאוחרות נשארות פחות שנים בחיסכון, אבל בשקלים הוא עדיין גדול. הטבלה מציגה הפקדה של 1,000 שקל בסוף כל חודש, בתשואה שנתית קבועה ולפני מס:
| תקופה | הופקדו (שקל) | בתשואה של 6% | בתשואה של 5% | הפער |
|---|---|---|---|---|
| 10 שנים | 120,000 | 162,473 | 154,363 | 8,110 (5.0%) |
| 20 שנים | 240,000 | 453,439 | 405,804 | 47,635 (10.5%) |
| 30 שנים | 360,000 | 974,513 | 815,376 | 159,137 (16.3%) |
אחרי 30 שנה הפער מגיע ל-159,137 שקל, יותר מ-40% מכל מה שהופקד. בדיוק כמו בחידה, רוב ההפרש נוצר בשנים האחרונות: בעשור הראשון הוא 8,110 שקל, ובעשור השלישי לבדו הוא גדל ב-111,502 שקל. חישוב מפורט של מה שדמי הניהול בפנסיה גוזרים מהחיסכון לאורך 30 שנה מראה את אותו דפוס בקרנות הפנסיה.
דמי ניהול הם רק חלק מהתמונה. התשואה עצמה משתנה משנה לשנה, ומסלול עם דמי ניהול נמוכים יכול להניב פחות ממסלול יקר יותר. החשבון מראה רק כמה משקל יש לכל נקודת אחוז כשהיא פועלת לאורך עשרות שנים.
הכפלה בכל יום קיימת רק בחידות, ובעולם האמיתי ההכפלות איטיות בהרבה. כדי להפוך אגורה ל-10.7 מיליון שקל, כמו בחידה, נדרשות 30 הכפלות. בקצב של 6% לשנה הדרך הזו הייתה נמשכת כ-357 שנה.
