חידה מתמטית: שני משחקים מפסידים, ויחד הם מרוויחים. איך זה אפשרי?
שני משחקי מטבע שכל אחד מהם מרוקן את הקופה לאט, הופכים למשחק מרוויח כשמחליפים ביניהם באקראי. בסימולציה, אחרי 1,000 סיבובים של שקל, כל משחק לבד מפסיד 9 עד 10 שקלים והשילוב מרוויח כ-15
שני משחקי מטבע, ושניהם מפסידים. מי שמשחק רק באחד מהם יאבד את הכסף לאט אבל בטוח. גם השני מרוקן את הקופה. עכשיו נניח שבכל סיבוב מטילים מטבע הוגן כדי להחליט באיזה משחק לשחק. האם הקופה תרד מהר יותר, לאט יותר, או אולי תעלה?
כמעט כולם עונים שהיא תרד. שילוב של שני הפסדים אמור לתת הפסד, אולי משהו באמצע. בפועל, השילוב האקראי מרוויח. אחרי 1,000 סיבובים של שקל, השחקן הממוצע במשחק הראשון מפסיד 10 שקלים, במשחק השני מפסיד כ-9, ובשילוב האקראי מרוויח כ-15.
החוקים: במשחק A מטילים מטבע שמנצח ב-49.5% מהמקרים, חצי אחוז פחות ממטבע הוגן. כל ניצחון מוסיף שקל וכל הפסד מוריד שקל. במשחק B יש שני מטבעות, והבחירה ביניהם תלויה בקופה. אם הסכום בקופה מתחלק ב-3, מטילים מטבע גרוע שמנצח רק ב-9.5% מהמקרים. בכל מצב אחר מטילים מטבע טוב שמנצח ב-74.5%. אם בקופה 6 שקלים, למשל, המשחק משתמש במטבע הגרוע. אם יש בה 7 או 8 שקלים, בטוב. זו הגרסה הקלאסית של החידה, שבה מורידים חצי אחוז מכל מטבע לרעת השחקן.
רמז
משחק B נראה טוב על הנייר: בשניים מכל שלושה ערכים של הקופה מקבלים את המטבע הטוב. אבל כשמשחקים רק בו, הקופה נתקעת על כפולות של 3 יותר משליש מהזמן. השאלה היא מה A עושה לסידור הזה, וכדאי לזכור שהוא כמעט הוגן ולכן כמעט לא עולה כסף.
רוצים לנסות בעצמכם? בסימולציה שמתחת לפסקה הזאת אפשר לבחור אסטרטגיה, להריץ אלפי סיבובים ולראות לאן הקופה הולכת.
התוכן והמידע של נתוני המחשבון והכלי האינטראקטיבי
עמוד 1: הקופה לאורך הסיבובים
| אסטרטגיה | מה משחקים |
|---|---|
| רק A | משחק A בכל סיבוב |
| רק B | משחק B בכל סיבוב |
| אקראי | בכל סיבוב מטילים מטבע הוגן שמחליט אם לשחק A או B |
| AABB | שני סיבובים של A ואחריהם שני סיבובים של B, וחוזר חלילה |
| ABAB | A ו-B לסירוגין, סיבוב אחד כל אחד |
| ABB | סיבוב אחד של A ואחריו שני סיבובים של B, וחוזר חלילה |
| אסטרטגיה | רווח ממוצע לסיבוב |
|---|---|
| רק משחק A | -1.00 אגורות |
| רק משחק B | -0.92 אגורות |
| בחירה אקראית בכל סיבוב | 1.54 אגורות |
| שניים A ושניים B, לסירוגין (AABB) | 1.46 אגורות |
| A אחד ו-B אחד, לסירוגין (ABAB) | -0.59 אגורות |
| A אחד ושניים B, לסירוגין (ABB) | 5.75 אגורות |
עמוד 2: כל האסטרטגיות
| אסטרטגיה | רווח ממוצע אחרי 100 סיבובים | ברווח אחרי 100 | רווח ממוצע אחרי 1,000 סיבובים | ברווח אחרי 1,000 |
|---|---|---|---|---|
| רק משחק A | מינוס 1.00 ₪ | 42% | מינוס 10.00 ₪ | 36% |
| רק משחק B | מינוס 1.39 ₪ | 37% | מינוס 9.22 ₪ | 32% |
| בחירה אקראית בכל סיבוב | 1.29 ₪ | 52% | 15.42 ₪ | 69% |
| שניים A ושניים B, לסירוגין (AABB) | 1.39 ₪ | 51% | 14.58 ₪ | 68% |
| A אחד ו-B אחד, לסירוגין (ABAB) | 0.12 ₪ | 51% | מינוס 5.94 ₪ | 39% |
| A אחד ושניים B, לסירוגין (ABB) | 5.81 ₪ | 69% | 57.50 ₪ | 97% |
| מצב | הקופה על כפולה של 3 | שארית 1 | שארית 2 | סיכוי ניצחון ממוצע |
|---|---|---|---|---|
| B לבד | 38.4% | 15.4% | 46.2% | 49.57% |
| בחירה אקראית בין A ל-B | 34.5% | 25.4% | 40.1% | 50.79% |
עמוד 3: מודל האיזון מחדש
| נתון | הנכס לבדו | חצי בנכס וחצי במזומן |
|---|---|---|
| תנועה בתקופה | עלייה של 60% או ירידה של 40% | עלייה של 30% או ירידה של 20% |
| עלייה אחת וירידה אחת | 96% מהכסף | 104% מהכסף |
| צמיחה לתקופה (גאומטרית) | -2.02% | 1.98% |
| 10 עליות ו-10 ירידות (התוצאה החציונית) | 66,483 ₪ | 148,024 ₪ |
| סיכוי לסיים בהפסד | 58.8% | 41.2% |
| הממוצע הפשוט של התוצאה | פי 6.73 | פי 2.65 |
| חלק בנכס | תנועת התיק בתקופה | צמיחה לתקופה | התוצאה החציונית | סיכוי לסיים בהפסד | הממוצע הפשוט |
|---|---|---|---|---|---|
| 0% | 0% / מינוס 0% | 0.00% | 100,000 ₪ | 0.0% | פי 1.00 |
| 25% | 15% / מינוס 10% | 1.73% | 141,060 ₪ | 25.2% | פי 1.64 |
| 50% | 30% / מינוס 20% | 1.98% | 148,024 ₪ | 41.2% | פי 2.65 |
| 75% | 45% / מינוס 30% | 0.75% | 116,054 ₪ | 41.2% | פי 4.25 |
| 100% | 60% / מינוס 40% | -2.02% | 66,483 ₪ | 58.8% | פי 6.73 |
הערות
למה זה מפתיע
האינטואיציה מתייחסת למשחק מפסיד כאל תכונה קבועה, כמו אחוז הניצחון של מטבע. אבל B מפסיד רק בתנאים שהוא עצמו יוצר. הסיכויים שלו תלויים בקופה, והקופה תלויה במה ששיחקתם קודם. ברגע ששני המשחקים חולקים קופה אחת, הם כבר לא שני משחקים נפרדים, והחשבון של הפסד ועוד הפסד לא חל עליהם.
זה גם ההסבר המקובל לפרדוקס: משחק B מפסיד תחת ההתפלגות של הקופה שנוצרת כשמשחקים רק בו, ומרוויח תחת ההתפלגות שנוצרת כשמערבבים אותו עם A. אילו שני המשחקים היו בלתי תלויים זה בזה, כל צירוף שלהם היה מפסיד.
אפשר לחשוב על זה כמו על מגש עם גומות. אם לא מנערים אותו, כדור נתקע בגומה הגרועה. ניעור קטן, שבעצמו לא מזיז את הכדור לשום כיוון מוגדר, מספיק כדי לשחרר אותו ולתת לשיפוע של המגש לעבוד. במשחק הזה הגומה היא כפולה של 3, והניעור הוא A.
הפרדוקס נקרא על שם חואן פרונדו, פיזיקאי ספרדי מאוניברסיטת קומפלוטנסה במדריד, שהגה אותו ב-1996. גרסת המטבעות התפרסמה בכתב העת Nature ב-1999, במאמר של הארמר ואבוט שכותרתו המתורגמת היא "אסטרטגיות מפסידות יכולות לנצח". הניתוח שלהם הראה שגם משחק B לבדו מפסיד, אף שרוב הזמן הוא מטיל את המטבע הטוב.
- חידה מתמטית: 980 מדבקות באלבום המונדיאל, כמה חבילות צריך?
- חידה מתמטית: פותחים קיצור דרך, והנסיעה מתארכת ב-15 דקות
הידעת? הפרדוקס נולד מתוך מכונה דמיונית שמפיקה אנרגיה מחום
מאז הוא שימש לתיאור תופעות בביולוגיה, כמו חיידקים שמחליפים באקראי בין מצבים שונים, או בעלי חיים שעוברים לסירוגין בין חיים נוודיים לחיים במושבה. יש לו גם יישומים בהנדסה ובתורת האמינות.
הקשר לתיק ההשקעות
הרעיון מזכיר תופעה מעולם ההשקעות שנקראת לפעמים שאיבת תנודתיות: איזון מחדש של תיק, החזרה קבועה שלו לחלוקה קבועה בין נכסים. חוקרים הצביעו על הדמיון בין השתיים, והנה דוגמה מספרית שמראה אותו.
קחו נכס דמיוני שבכל תקופה עולה ב-60% או יורד ב-40%, בסיכוי שווה. בממוצע פשוט הוא מניב 10% לתקופה, אבל עלייה אחת וירידה אחת משאירות רק 96% מהכסף (1.6 כפול 0.6). מי שמחזיק רק אותו לאורך 20 תקופות, עם 10 עליות ו-10 ירידות, הופך 100 אלף שקל ל-66.5 אלף. מזומן בלי ריבית לא מרוויח ולא מפסיד.
עכשיו חצי בנכס וחצי במזומן, עם החזרה לחצי-חצי בסוף כל תקופה. התיק עולה ב-30% או יורד ב-20%, וזוג של עלייה וירידה משאיר 104%. באותן 20 תקופות, 100 אלף שקל הופכים ל-148 אלף. הנכס לבדו נשחק והמזומן לבדו עומד במקום, אבל השילוב המאוזן צומח.
בסימולציה של 200 אלף מסלולים אקראיים של 20 תקופות, התוצאה החציונית (זו שחצי מהמסלולים מעליה וחצי מתחתיה) של מי שהחזיק רק בנכס הייתה 66.5 אלף שקל, ו-59% מהמסלולים הסתיימו בהפסד. בתיק המאוזן החציון היה 148 אלף שקל, ו-41% מהמסלולים נגמרו מתחת לסכום ההתחלתי. הממוצע של הנכס לבדו דווקא יצא גבוה יותר, כי מסלולים בודדים עם רצף עליות מושכים אותו למעלה, אבל רוב המחזיקים לא נמצאים שם.
- בלי שרוול: שעון חכם של גוגל זיהה 2 מכל 3 מקרים של יתר לחץ דם
- אחד מכל 9 מבוגרים חולה בסוכרת: איך נמנעים, איך יורדים ומי מרוויח
חשוב לזכור שזה מודל ולא מתכון. נכסים אמיתיים לא מתנהגים כמו מטבע עם שתי תוצאות קבועות, התשואות של תקופות שונות תלויות זו בזו, ועל כל איזון משלמים עמלות ולפעמים גם מס. גם המשחקים המקוריים של פרונדו כמעט לא ישימים בבורסה, כי הם דורשים שהסיכוי במשחק אחד יהיה תלוי בגודל הקופה. מה שהמודל כן מראה הוא שתשואה של תקופה אחת והתשואה שנצברת לאורך זמן הן שני דברים שונים.
