חידה מתמטית: פותחים קיצור דרך, והנסיעה מתארכת ב-15 דקות
4,000 נהגים יוצאים כל בוקר מאותה שכונה אל אותו אזור תעסוקה, ויש להם שני מסלולים. בכל מסלול יש רחוב צר, שזמן הנסיעה בו בדקות שווה למספר המכוניות שעליו חלקי 100, וקטע של כביש מהיר שלוקח תמיד 45 דקות. במסלול הצפוני הרחוב הצר בא בהתחלה, ובדרומי הוא מחכה בסוף.
הנהגים מתחלקים חצי-חצי, 2,000 בכל צד, וכל אחד מהם נוסע 20 דקות ברחוב הצר ועוד 45 בכביש המהיר: 65 דקות. עכשיו העירייה בונה גשר קצרצר שמחבר את סוף הרחוב הצר הצפוני עם תחילת הרחוב הצר הדרומי, והמעבר בו לוקח כמעט אפס דקות. מה יקרה לזמן הנסיעה? רוב האנשים עונים שהוא יתקצר, ובמקרה הגרוע יישאר כמו שהיה, כי מי שלא רוצה בגשר פשוט ממשיך בדרך הקודמת.
רמז: חשבו על נהג אחד שמחפש את הדרך המהירה ביותר בשבילו, בלי להתחשב באחרים. אחר כך דמיינו ש-4,000 נהגים חושבים בדיוק כמוהו באותו בוקר.
למה זה מפתיע
האינטואיציה אומרת שאפשרות נוספת יכולה רק לעזור: אם הגשר גרוע, מוותרים עליו. זה נכון כשאדם אחד מחליט לבדו. בכביש כל נהג בוחר לעצמו, והעומס שהוא מוסיף נופל על כולם. מי שעובר לקיצור רואה את הדקות שהוא חוסך, ולא את התוספת הקטנה שהוא גורם לאלפי הנהגים ברחובות הצרים.
המתמטיקאי הגרמני דיטריך בראס מאוניברסיטת רוהר תיאר את התופעה ב-1968, כשעבד על מודלים של תנועה. בשפה של תורת המשחקים, הבחירה האישית הטובה ביותר של כל נהג מובילה למצב גרוע לכלל הנהגים, בדומה לדילמת האסיר. חוקרי מדעי המחשב טים ראפגארדן ואווה טרדוש הראו שכאשר זמן הנסיעה בכל קטע עולה בקו ישר עם העומס, כביש נוסף יכול להאריך את זמן הנסיעה הכולל בשיווי המשקל לכל היותר פי 4/3. בדוגמה שלנו היחס הוא 80 חלקי 65, בערך 1.23, די קרוב לתקרה.
לפער בין מה שקורה כשכל אחד בוחר לעצמו לבין המצב הטוב ביותר לכולם יש שם מקצועי: מחיר האנרכיה. כבר ב-1920 השתמש הכלכלן ארתור ססיל פיגו בשתי דרכים קיימות כדי להראות שנהגים שבוחרים מסלול לבד מייצרים חלוקה לא יעילה של התנועה. בראס הלך צעד אחד הלאה והראה שהוספה של דרך יכולה להפוך את המצב לגרוע יותר מבעבר.
הידעת?גם קפיצים מתנהגים לפי פרדוקס בראס
ערים שסגרו כבישים והרוויחו
הפרדוקס עובד גם בכיוון ההפוך: לפעמים סגירה של כביש מקצרת את הנסיעה. בסיאול שבדרום קוריאה פירקו בתחילת שנות ה-2000 כביש מהיר בן שישה נתיבים כדי לשקם את נחל צ'ונגגיצ'און, ובמקומו נבנה פארק באורך של כ-8 קילומטרים. התנועה באזור דווקא השתפרה. בשטוטגרט שבגרמניה, אחרי השקעות ברשת הכבישים ב-1969, מצב התנועה השתפר רק כשקטע של כביש חדש נסגר שוב.
בניו יורק ניסו ב-2009 לסגור לרכב שני קטעים של שדרת ברודוויי, בכיכר טיימס ובכיכר הרולד, שם היא חוצה באלכסון את השדרות הראשיות. התחזיות דיברו על קיצור של עד 40% בזמני הנסיעה בחלק מהרחובות. התוצאות היו צנועות יותר, אבל העומס הכולל ירד, והסגירה הפכה לקבועה עם כיכרות להולכי רגל.
פול לקרואר, ממכון התכנון והפיתוח של אזור פריז, תיאר תופעה שנלווית לסגירות כאלה: חלק מהנסיעות לא עוברות לתחבורה ציבורית אלא פשוט נעלמות, ומתכננים קוראים לזה "התאדות" של תנועה. לפי הניסיון שהוא תיאר, אחרי תקופת הסתגלות קצרה סגירת דרכים ראשיות לא הביאה להחמרה בתנועה, והמעבר של נהגים לדרכים חלופיות היה קטן מהצפוי. ברואן שבצרפת נשרף גשר, ובשנתיים שאחר כך השתמשו יותר בגשרים האחרים, אבל המספר הכולל של המכוניות שחצו את הנהר ירד.
- חידה מתמטית: 980 מדבקות באלבום המונדיאל, כמה חבילות צריך?
- חידה מתמטית: מיליון שקל עכשיו או אגורה שמוכפלת כל יום במשך חודש?
מה זה אומר על כסף ותשתיות
כביש או מחלף חדש הם השקעה ציבורית גדולה, והפרדוקס מזכיר שהשאלה החשובה היא איך הנהגים יתפזרו אחרי הפתיחה, ולא רק כמה קיבולת נוספה. חוקרי הרשתות הייג'ין יון, מייקל גסטנר והוואונג ג'ונג הראו ב-2008 מסלולים בבוסטון, בניו יורק ובלונדון שבהם התופעה עלולה לקרות, וסימנו רחובות שסגירתם צפויה לקצר את זמני הנסיעה לפי המודל שלהם.
אותה מתמטיקה מופיעה ברשתות חשמל. ב-2012 הראו חוקרים ממכון מקס פלאנק לדינמיקה ולארגון עצמי, בהדמיות מחשב, שהתופעה יכולה להופיע ברשת הולכה שבה הייצור מבוזר בין הרבה מקורות קטנים: קו נוסף עלול לפגוע בתפקוד הרשת במקום לשפר אותו. באותה שנה דיווח צוות מצרפת ומבלגיה בכתב העת Physical Review Letters שבמעגל אלקטרוני זעיר, בגודל של ננומטרים, הוספת מסלול לאלקטרונים דווקא הקטינה את המוליכות.
גם רשתות תשלום של ביטקוין חשופות לזה. מחקר על רשת Lightning, שמאפשרת העברות מהירות מחוץ לבלוקצ'יין, מצא שפתיחת ערוץ תשלום חדש עשויה להעלות את העמלות, וסגירה של ערוץ קיים עשויה להוריד אותן.
יש מי שמצא את הרעיון גם בספורט. מחקר של בריאן סקינר, יחד עם גסטנר וג'ונג מהמחקר על הערים, תיאר קבוצת כדורסל כרשת של דרכים לסל, שבה שחקן כוכב שמקבל יותר מדי כדורים מתפקד כמו קיצור דרך עמוס ומוריד את היעילות של הקבוצה כולה. החוקרים עצמם ציינו שאין לכך עדיין הוכחה סטטיסטית חזקה.
ובחזרה לנהגים: הסכמה של כולם לוותר על הגשר הייתה חוסכת לכל אחד 15 דקות, אבל כל נהג לבד מרוויח מלעבור אליו. בגלל זה הפתרון מגיע בדרך כלל מהתכנון ולא מרצון טוב, למשל סגירה של הקטע הבעייתי.
