אדם מגיע מצויד בידע ו-100 אלף דולר לבחון את המיומנות שלו במסחר תוך יומי במט״ח/ ביטקוין/ סחורות/ אחר. מה ההסתברות שהוא יפסיד את כל כספו? תוך כמה זמן הוא יגיע למצב שהוא יפסיד הכל?

אקראיות מעסיקה את המין האנושי מקדמת דנא, התרחשויות שאין להן הסבר מצאו את ביטויים בקשירתן למעשי אלים שונים. גם ביהדות - בתנ״ך בהטלת הגורלות על השעירים (נושא שחוזר על עצמו במקומות נוספים), וגם במשנה בה נזכרים הימורים והגרלות - מושג כמו פיס שמוזכר מתאר פיסות באורכים שונים שנשלפות מתוך קלפי (תיבה מעץ לתוכה מכניסים את הפיסות בעלות האורכים השונים ושולפים ממנה). מדובר בעצם בהגרלה לכל דבר ועניין שמטרתה להחליט על סדרי קדימויות בתהליך הקרבת קורבנות במהלך יום הכיפורים (מסכת יומא, הוגנות ההגרלה זוכה ליחס). כמו כן במשנה נקבע כי עיסוק בהטלת קוביות פוסל אדם מעדות (מסכת ראש השנה). 

כתוצר של אימוץ דרכי החשיבה של אריסטו בדתות השונות, קרי הוכחה המתבססת על הנחות יסוד וכללי היסק ספציפיים, ההתעסקות בהסתברות ברמת המדע הייתה נמוכה. הרי סטטיסטיקה זה לא עניין של פעולות שגורמות לתוצאה מוחלטת, אם כי יש יוצאי דופן התער של אוקהם (הרחבה כאן), שימוש של מוסלמים בסטטיסטיקה לשבור מסרים מוצפנים ושימוש בהערכות שונות לצורך מתן מימון על ידי יהודים במיוחד במקרים של הלוואות והעברת סחורה ממקום למקום אחר. ההערכות התבצעו באמצעות כללי אצבע והיסטוריה עדכנית של מבקש המימון.

כמו הרבה התפתחויות מדעיות ההתעסקות המתמטית בהסתברות הגיעה בעקבות רדיפה דתית של לואי ה-14 (קתולי) אחר הפרוטסנטים. אברהם דה-מואבר (פרוטסנטי) שנאלץ לנוס ללונדון ומצא את פרנסתו בשיפור הערכה של בתי הימורים את הרווחים שלהם וזיהוי רמאים, הכניס את מדע המתמטיקה לתחום ההסתברויות. 

• השקעה חיה: סטארט-אפ לשידורי לייב ברמת 4K מכל סמארטפון מגייס משקיעים
• אחרי שני אקזיטים מוצלחים: הסטארט-אפ של אבי שריר נפתח להשקעה
• המלצת המערכת: כל הכותרות 24/7

כמה תפסידו ברולטה?

ניקח למשל את משחק הרולטה האמריקנית בו אחד השחקנים מהמר על שחור, יש 38 תאים ברולטה מתוכם 36 ממוספרים והתאים 0 ו-00 השייכים לבית, אז הסיכוי שלו לזכות הוא 18/38. נניח שאותו אדם מהמר על דולר בכל הימור והוא הימר כבר כאלף פעמים מה יהיה מאזן רווח והפסד סביר? אם אנשים שונים ישחקו את המשחק איך נדע מי מהם מרמה?

נחזור לאותו שחקן ממוצע. הסיכוי שלו לזכות בכל הימור הוא 18/38 לכן בממוצע הוא יזכה ב-18/38 כפול 1000 ויפסיד ב-20/38. בלי להיכנס לחישובים סטטיסטיים מסובכים הוא אמור בכל סדרה של 38 הגרלות, להפסיד פעמיים יותר מאשר להרוויח (20 הפסדים ו-18 נצחונות). ככה מחשבים מה קורה ב-1,000 פעם - ומקבלים  52.36 הפסדים. אך מה קורה אם הוא הרוויח 10 או הפסיד 58?

כאן, על ידי בחינה של תוצאות והסקת מסקנות הגיעה דה-מואבר לתגלית ששינתה את המדע: הוא גילה שאם לוקחים את סטיית התקן (שורש השונות שהיא ממוצע ריבועי ההפרש מהממוצע) בתור יחידה שנסמנה ב-σ ומודדים את המרחק מהממוצע כפונקציה של σ (במקרה למעלה σ ~ 7.06), אז ניתן לקבוע אם התוצאות החריגות - כלומר, אם יש רמאויות או תקלות במערכת. 

• רואה החשבון שניצח את מס הכנסה - ולמה זה חשוב לכם?
• טופס הפנסיה שעלול להפוך למוקש מס
• תוכן שיווקי שוק הסקנדרי בישראל: הציבור יכול כעת להשקיע ב-SpaceX של אילון מאסק
• טופס הפנסיה שעלול להפוך למוקש מס

במקרה שלנו (הפסקה הזו היא רק למתעקשים להיכנס לעובי הקורה, או לכאלו שמתמטיקה וסטטיסטיקה לא מפחידה אותם) אם הוא הרוויח 12 ובממוצע הוא אמור להפסיד 52.36 וסטיית התקן היא בקירוב 31.75 (חישבנו) אז הוא נמצא: 64.36/31.75 (ההפרש חלקי סטיית התקן) סטיות תקן מהממוצע שזה 2.02 סטיות תקן מעל לממוצע. ניתן לחשב את ההסתברות שהערכים גדולים שווים מהערך שהתקבל יושגו ובמקרה דנן היא מתחת ל-5%. כלומר זה אפשרי אך בסבירות נמוכה. אם הוא היה מרוויח 40,50 60 היה ניתן לקבוע כמעט בוודאות שמדובר ברמאות או בתקלה, כי ההסתברות לתרחיש כזה היא מאוד מאוד נמוכה.

האם הבית יכול להפסיד?

שאלה ששואל את עצמו בעל/מפעיל הרולטה - מה הסכום הגדול ביותר שאוכל להפסיד? או בהינתן שאני מתחיל עם כמות מסוימת של כסף מה ההסתברות שאגיע לפשיטת רגל? 

השאלה הזו מעניינת אותנו בגלל סיבה אחת - ההופכי שלה הוא מה הסיכוי של המהמר להרוויח? מה הסיכוי של מהמרים רבים באותו ערב להרוויח? הסיכוי לכך קלוש. אם למהמר שלנו יש סכום של 1,000 דולרים ובכל תור הוא מבצע הימור על השחור, הוא יפסיד את כל כספו תוך כ-19,000 תורות. יש לזה חישוב מדויק, ויש גם אפשרות להבין זאת ממבט על - הגענו קודם למסקנה שהוא מפסיד 52.36 דולר בממוצע על כל 1,000 תורות. 19 סבבים כאלו (19,000 הימורים) והוא הפסיד הכל. 

מסקנה: אם מישהו רוצה להרוויח ברולטה סכום כסף כדאי לו להמר על הסכום בפעם אחת… בכל מקרה זה לא מומלץ.

נחזור לענייני הסוחר היומי שלנו.

אם התוחלת אפס או שלילית, הסוחר שלנו יגיע למצב שהוא יפסיד את רוב כספו או את כולו. בתי הקזינו וזירות הפורקס חיים מהמצב הזה. אבל עזבו את המצב הזה שהוא בעייתי. נניח שלסוחר שלנו יש אסטרטגיה מנצחת (קשה מאוד למצוא כזו, והיא דורשת מיומנות שבדרך כלל אין לסוחר הממוצע) שמאפשרת לו רווח ממוצע של 0.5% על כל טרייד, אך לאחר עמלות וביצוע הרווח יורד ל-0.1% (בד״כ תוחלת הרווח שלילית) וזה במקרה שהוא מהמר בכל פעם על מינימום של 1,000 דולר. שימו לב מה קורה במצב הזה - לאורך זמן הוא ירוויח, אבל הדרך תהיה קשה, ארוכה, עם מצבים של הפסדים כואבים שלא ישאירו לו (ככל הנראה9 יכולת וחמצן להישאר עד סוף המשחק. החישוב הסטטיסטי מוכיח כי הסיכוי שלו להפסיד 20 אלף דולר, שהם 20% מכספו, בנקודת זמן מסוימת, הוא מעל ל-90% וכאן לקחנו את המקרה החיובי.

גם במקרה בו הוא גילה אסרטגיה שתוחלת הרווח שלה 1%, הסיכוי שיפסיד 20% הוא מעל ל-40% וכאן מדובר על אדם שמצא אסטרטגית זהב. אז נכון שבהמשך בטווח הארוך הוא אמור להרוויח, אבל בדרך הוא יכול להפסיד הרבה, ולצאת מהמשחק 

המסקנה פשוטה רוב הסוחרים היומיים יפסידו את כספם. וייצאו בהפסדים מפלטפורמת המסחר.

מסקנות

• אם הסיכויים נגדך כלומר יש הימור עם תוחלת שלילית (ממוצע הרווחים הוא הפסדי) ובכל זאת אתה רוצה להמר בשביל להגיע לרווח מסוים. כדאי להמר בפעם אחת.
• גם אם מצאת אסטרטגיה טובה ותוחלת הרווח חיובית יש הסתברות גבוהה שבמהלך הדרך תחווה הפסדים קשים אם תדבוק באסרטגיה קבועה (למשל להמר באותו סכום בכל הזדמנות).
• תהיה לך הערכה סטטיסטית אחרי מספר לא גדול של ניסויים, לדעת אם ההימור שלך מתנהג בצורה שחשבת שהוא מתנהג.
• בשימוש בתוכנות מסחר שונות יש לתת תשומת לב לאורך הטרייד לפערי שערי הקנייה והמכירה ולעמלות המשולמות (כולל ריביות במקרה של מינופים) על מנת שאסטרטגיית מסחר תהיה עם פוטנציאל רווחי היא צריכה להיות עם תוחלת חיובית בשקלול כל ההוצאות הנלוות.
• גם אם מישהו מצא אסטרטגיה רווחית שאינה מרוויחה באופן טהור, כלומר מגיעה מהימור שיכול להרוויח ולהפסיד והפער בין רווח והפסד אינו יוצא דופן, כלומר תוחלת רווח של מתחת ל-5% מסכום ההשקעה. אז על מנת ליצור רווח משמעותי אותו שחקן יצטרך למצוא הרבה מאוד הזדמנויות לבצע את ההימור הזה => אם אדם בא ואומר שהוא מצא דרך להפוך סכום קטן של כסף לסכום עצום תוך זמן קצר על ידי אסטרטגיית מסחר סודית הידועה רק לו, או שיש לו תבונה סודית שמחסלת סיכונים בתחום חם (מומחי נדל״ן בארצות זרות למיניהם) מדובר ב-99.9999% בנוכל.

כותב המאמר: איתי בן דן, מתמטיקאי, מומחה בשווקים הפיננסיים, עוסק בפיתוח של אלגוריתמים מתקדמים למסחר בבורסות שונות ופיתוח של כלים מתקדמים להשקעה

(ותודה לאבי שריר על העזרה)